Эксперимент по схеме Аспекта с источником псевдо-запутанных частиц или когда неравенства Белла не нарушаются

Предложенный источник псевдо-запутанных фотонов можно использовать для проверки неравенств Белла в соответствии с описанной Аспектом методикой [1, 2, 3, 7].

Предсказания теорий для псевдо-запутанности

В работе Аспекта [1, уравнение (12)] приведено знакомое [3] белловское уравнение для определения коэффициента корреляции для специфической модели теории дополнительного параметра:

(1)

где:
a,b –направления поляризаторов;
λ – явно представленный дополнительный параметр;
ρ(λ) – вероятность распределения дополнительных параметров λ на ансамбле испускаемых пар;
A(λ,a), B(λ,b) – двузначные функции, задающие результаты измерения, соответственно, в направлениях a и b.

Воспользуемся этой методикой анализа Аспекта (и Белла) и выведем уравнение вероятностных отношений между измерениями. Произведение частных вероятностей двух фотонов означает, что прохождение одним фотоном своего поляризатора никак не связано с тем, пройдет ли свой поляризатор другой фотон.

Предложенный источник псевдо-запутанных частиц делает установку Аспекта совместимой для проверки предсказаний квантовой механики и локальной теории. Фотоны имеют фиксированные поляризации сразу же после разделения как с точки зрения локальной теории, так и с точки зрения квантовой механики и могут быть описаны одинаковыми уравнениями. Рассмотрим схему эксперимента рис.2 и события, происходящие на том поляризаторе, который первым фиксирует прилетевший фотон. Очевидно, что вероятность того, что фотон пройдет через поляризатор, определяется уравнением:

где:
θ –угол между поляризацией фотона и поляризатора. Такова же вероятность прохождения поляризатора и вторым фотоном.

Это теоретически и экспериментально подтвержденная зависимость [9, с.62], поэтому она должна безусловно признаваться любой теорией. Более того, следует признать, что только такая модель локальной теории является не только правильной, но и единственной теорией дополнительного параметра, отвечающей всем требованиям, предъявляемым к локальной теории в духе Эйнштейна. Локальная теория утверждает, что поляризация второго фотона до встречи с поляризатором не меняется после регистрации первого фотона, поэтому угол θ для него отличается от аналогичного угла первого фотона, поскольку в общем случае поляризаторы не параллельны. Но в данном эксперименте то же самое утверждает и квантовая механика. Таким образом, для обеих теорий вероятность того, что оба фотона пройдут свои поляризаторы, равна произведению частных вероятностей:

где:
P(θ₁)– вероятность единичного прохождения первого фотона через первый поляризатор;
P(θ₂)– вероятность единичного прохождения второго фотона через второй поляризатор;
θ₁ –угол между поляризацией первого фотона и первым поляризатором;
θ₂ –угол между поляризацией второго фотона и вторым поляризатором.

Рассмотрим условную схему эксперимента:

Рис.2 Условная схема экспериментальной установки. Направления поляризации фотонов v₁ и v₂ параллельны (синглетная пара). Поляризаторы I и II для наглядности развернуты параллельно плоскости рисунка.

(4)

(5)

(6)

Берем интегралы и расставляем пределы интегрирования. Видим, что первые три интеграла вычисляются точно:

(7)

Получаем:

(8)

Сделаем подaстановку в последнем слагаемом полученного выражения, используя следующие равенства:

(9)

В результате подстановки и после преобразования получаем:

(10)

Используем еще одну формулу преобразования:

Получаем:

(11)

Вновь воспользуемся формулами для понижения степени:

После подстановки их в (11), получаем:

(12)

Раскрываем скобки и разбиваем интегралы сумм на суммы интегралов, замечая, что в интегралах есть одинаковые слагаемые с противоположными знаками:

(13)

После сокращения и вынесения множителей за знак интеграла получаем:

(14)

Из выражения (9) обратным преобразованием находим:

откуда следует:

(15)

Подставляем эти значения в (14) и находим:

(16)

Обратившись к рис.2, мы заметим, что:

(17)

На рисунке второе соотношение в (17) «вступает в силу», когда фотоны имеют горизонтальное расположение оси поляризации. Разобьем каждый из интегралов на два с интервалами интегрирования, смыкающимися в точке разрыва в λ, и произведем замены с учетом замечания (17) и того, что схема симметрична на интервале 0 ≤ θ ≤ π :

(18)

Выносим константы за знаки интеграла:

(19)

Замечаем, что второе и последнее слагаемые образуют интеграл по полукругу:

(20)

После вычисления интегралов, получаем:

(21)

Вновь сделаем подстановки с учетом (17):

(22)

После упрощения выражения:

(23)

Берем интегралы и указываем пределы вычислений:

(24)

Подставляем пределы и находим:

(25)

Упрощаем:

(26)

Приведем это уравнение к виду закона Малуса:

(27)

Полученное выражение, как видим, не совпадает с выражением квантовой теории для запутанных частиц. Для запутанных частиц и угла между поляризаторами квантовая теория предсказывает нулевую вероятность совместного прохождения частиц. Подставляем этот угол в выражение для псевдо-запутанных частиц и находим:

Для запутанных частиц и угла λ = 0 квантовая теория предсказывает вероятность совместных прохождений частиц, равную 12. Для псевдо-запутанных частиц квантовая теория и теория дополнительного параметра предсказывают вероятность:

Вычислим величину корреляции для псевдо-запутанных частиц, используя методику Аспекта. Для этого рассмотрим вероятности P_±±(a,b) совместных обнаружений v₁ и v₂ в каналах + или - поляризаторов I или II в направлениях a и b. Квантовая механика и теория дополнительных параметров делают для них одинаковые предсказания:

(28)

Как и Аспект воспользуемся удобным способом измерения величины корреляции между случайными величинами, состоящим в вычислении коэффициента корреляции. Для измерений поляризации, рассмотренных выше пар частиц в собственных состояниях (псевдо-запутанных частиц), он равен

Подставляем в это выражение значения величин из (28) и получаем:

(30)

Упрощаем выражение:

(31)

Как видим, коэффициент корреляции для псевдо-запутанных частиц в два раза меньше коэффициента корреляции для запутанных частиц. Для определения возможного нарушения неравенств Белла возьмем следующее совместное (для квантовой механики и теории дополнительного параметра) значение S_Q

Это - функция трех независимых переменных (a,b), (b,a′) и (а′,b′). Заметим, что

Чтобы найти экстремум значения S_Q, мы приравниваем нулю три частичные производные, и находим

и

Вычисления показывают, что абсолютный максимум и минимум S_Q равны

(34)

Эти значения - решения соотношения (33) и они, как видим, неравенств Белла не нарушают.

Итак, мы получили результат, который свидетельствует, что ЭПР-пары как независимые друг от друга системы в представлении Эйнштейна (псевдо-запутанные пары), описываются одинаково и квантовой механикой и теорией дополнительных параметров. При этом неравенства Белла не нарушаются ни квантово-механическими предсказаниями, ни предсказаниями локальной теории.

Понятно, что описанные ранее расхождения между двумя теориями вызваны тем, что они рассматривали принципиально разные пары частиц. Локальная теория рассматривает статистические, независимые частицы, и ее предсказания для таких частиц, как мы увидели, совпадают с предсказаниями квантовой механики. Не удивительно, что предсказания квантовой механики для других типов частиц (классических ЭПР-пар) не совпадают с этими. Если локальные пары ведут себя статистически, независимо друг от друга, то классические ЭПР-пары ведут себя не статистически, не независимо, то есть, наоборот, – зависимо.

С учетом полученных результатов логично задаться вопросом: а какими должны быть в таком случае предсказания локальной теории для классической ЭПР-пары? Рассмотрим их вкратце. Поскольку запутанные частицы ведут себя не статистически, не независимо, мы, очевидно, должны учесть в локальной теории это обстоятельство – зависимость. Эта зависимость очень наглядно сформулирована Аспектом [2, 3]:
«…
i. Фотон v1, который не имел явно определенной поляризации перед ее измерением, получает поляризацию, связанную с полученным результатом, во время его измерения: это не удивительно.
ii. Когда измерение на v₁ сделано, фотон v₂, который не имел определенной поляризация перед этим измерением, проектируется в состояние поляризации, параллельное результату измерения на v₁. Это очень удивительно, потому что это изменение в описание v₂ происходит мгновенно, безотносительно расстояния между v₁ и v₂ в момент первого измерения.
Эта картина находится в противоречии с относительностью. Согласно Эйнштейну, событие в данной области пространства-времени не может находиться под влиянием события, произошедшего в пространстве-времени, которое отделено пространственно-подобным интервалом. Неразумно пытаться найти более приемлемые картины, чтобы «понять» ЭПР-корреляции. Это такая картина, которую мы рассматриваем теперь».

Как видим, поведение частиц в этом случае явным образом противоречит формуле Эйнштейна для локальных систем (принципу локального реализма):
«Но одно предположение представляется мне бесспорным. Реальное положение вещей (состояние) системы S₂ не зависит от того, что проделывают с пространственно отделённой от неё системой S₁». [10, c.290]
«…так как во время измерения эти две системы уже не взаимодействуют, то в результате каких бы то ни было операций над первой системой, во второй системе уже не может получиться никаких реальных изменений». [11]

Но формулировка Аспекта явно отмечает: такая зависимость есть. То есть, все обстоит с точностью до наоборот, а именно, говоря словами Эйнштейна:
«Реальное положение вещей (состояние) системы S₂ зависит от того, что проделывают с пространственно отделённой от неё системой S₁».
«Хотя во время измерения эти две системы уже не взаимодействуют, тем не менее, в результате некоторых операций над первой системой, во второй системе происходят реальные изменения».

Сославшись на предположение Пенроуза [6]:
«…в самом направлении А, вокруг которого электрон «вращается как вокруг оси» до того, как произведено измерение, по-видимому, есть нечто полностью объективное. Действительно, мы могли бы остановить свой выбор на измерении спина электрона в направлении А, и электрон должен быть приготовлен так, чтобы достоверно (т.е. с вероятностью 100%) дать ответ ДА, если мы случайно угадаем истинное направление спина! Каким-то образом «информация» о том, что электрон действительно должен дать именно такой ответ, хранится в спиновом состоянии электрона», мы можем сделать очевидный вывод, что в формулировке Аспекта для теории дополнительных параметров эта зависимость должна быть отражена следующим образом:
i. Фотон v₁, который имел явно определенную поляризацию перед ее измерением, получает новое направление поляризации, связанную с полученным результатом, во время его измерения: это не удивительно.
ii. Когда измерение на v₁ сделано, фотон v₂, который имел точно такую же определенную поляризация перед этим измерением, как и первый фотон, изменяет свое состояние поляризации на параллельное результату измерения на v₁. Это очень удивительно, потому что это изменение в описание v₂ происходит мгновенно, безотносительно расстояния между v₁ и v₂ в момент первого измерения, но еще более удивительным является сам факт изменения поляризации второго фотона.

Квантовая механика дала этому явлению собственное название «нелокальность». Теория дополнительного параметра (локальная теория), казалось бы, должна в определенной степени отказаться от своих представлений о локальности, независимости ввиду явного наличия такой зависимости. Но это «дальнодействие» ничуть не хуже квантово-механической «нелокальности». Квантовая механика никак не объясняет сути этого явления, создавая вокруг него мистический ореол. Точно также нет оснований требовать от теории дополнительных параметров объяснения этого «дальнодействия». Можно заявить, что «дальнодействие» теории дополнительных параметров не нарушает принципы СТО (и, следовательно, принципа локальности) по тем же причинам, что и квантовая нелокальность – вследствие отсутствия явно зафиксированной передачи информации [5, 8]. При таких условиях теория дополнительных параметров дает такие же предсказания, что и квантовая механика:

(35)

Эта формула закона Малуса с точки зрения теории дополнительных параметров имеет простое и наглядное объяснение. Вероятность совместного прохождения поляризаторов двумя запутанными фотонами P(a,b) равна произведению двух вероятностей. Первая вероятность 12 – это известная вероятность прохождения первым фотоном своего поляризатора. Вторая вероятность – второй сомножитель в формуле (35) – это вероятность прохождения вторым фотоном своего поляризатора. Как видим, эта вероятность вычисляется по известной формуле (2) как вероятность прохождения фотоном поляризатора, образующего угол (a,b) с направлением поляризации фотона. С точки зрения теории дополнительных параметров этот угол равен углу между поляризаторами, поскольку второй фотон вследствие «дальнодействия» под воздействием первого измерения приобретает направление поляризации, равное направлению первого фотона (и поляризатора).

Выводы

Белловский аргумент (нарушение неравенств) не является достаточным основанием для опровержения теорий дополнительных параметров и эйнштейновских представлений об элементах физической реальности. Основной вопрос - о нерелятивистской зависимости в поведении запутанных частиц – остается открытым. Причиной возникновения противостояния между теорией дополнительных параметров и квантовой механикой следует считать подмену понятий – каждая из теорий рассматривает свой собственный класс частиц.
• Все локальные теории описывают явление запутанности с вероятностной точки зрения, принимающей, что корреляция пар частиц вызвана «случайным», вероятностным совпадением измерений, поскольку оба измерения не могут влиять друг на друга. Эксперименты Аспекта (и других исследователей) показали, что результаты измерений зависят друг от друга, поэтому локальная вероятностная модель не может быть применена к запутанным частицам.
• Локальное вероятностное описание может быть применено к специфической модели псевдо-запутанных частиц. Эта модель одинаково описывается и локальной теории дополнительного параметра и квантовой теорией.
• В эксперименте по схеме Аспекта [2] с использованием в качестве источника частиц источник псевдо-запутанных частиц обе теории дают одинаковые предсказания совместного прохождения частиц. Эти предсказания отличаются от предсказаний квантовой теории для запутанных частиц и от результатов эксперимента с этими частицами.
• Эксперимент по схеме Аспекта [2] с псевдо-запутанными частицами не проводился и его результат может совпасть с приведенным анализом. Такой результат не противоречит ни квантовой теории, ни теории дополнительного параметра и наиболее вероятен.
• Плохо обоснованным является предположение, что возможен иной исход эксперимента с источником псеводо-запутанных частиц по схеме Аспекта [1,2], когда количества совместных прохождений частиц совпадут с предсказаниями квантовой теории для запутанных частиц. Такой исход будет означать ошибочность представлений об отсутствии у запутанных частиц определенной поляризации.

Литература