Математика и казино

В этой статье мы рассмотрим основные принципы, на которых организована работа игорных домов, за счет чего они получают прибыль, и какую роль в их деятельности играет "госпожа удача". А начнем обзор с рассмотрения основных математических законов, на которых построены азартные игры. Как связаны математика и казино? Ведь многие игры в казино были придуманы и разработаны именно математиками. Можно ли использовать их же оружие для получения преимущества в игорном доме?

Немного истории

В 1526 году итальянский математик Джероламо Кардано в своей работе «Книга об игре случая» впервые попытался описать игру в кости языком математики. Основываясь на собственной игровой практике, он пытался разработать и теоретически обосновать систему рекомендаций по управлению ставками. Им фактически было сформулировано определение вероятности:

«Имеется одно общее правило для расчёта вероятности: нужно попробовать учесть число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений».

Позднее, в конце 16 - начале 17 веков, математический анализ игры в кости продолжили Галилео Галилей и Блез Паскаль. Они занялись этим по просьбам друзей, больших любителей азартных игр, весьма удрученных большими финансовыми затратами, которое приносило их хобби. Следует признать, что наука о вероятности, согласно истории, выросла из меркантильных проблем любителей азарта.

Принято считать, что именно тогда появился целая область математики, целиком посвященная вероятностям. Следующий шаг в этом направлении сделал нидерландский математик Христиан Гюйгенс, опубликовавший в середине семнадцатого столетия книгу «Размышления об игре в кости» («De Ratiociniis in Ludo Aleae»). Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в трудах великих математиков XVIII-XIX веков – Якова Бернулли, Пуассона, Лапласа, Муавра и других. Очень скоро новая теория нашла широкое применение в областях, весьма далеких от азартных игр.

Математика игр казино

Как работает азартная игра с точки зрения теории вероятностей? Давайте посмотрим, подчиняется ли она математике. При подбрасывании монетки любая из ее сторон может выпасть с одинаковой вероятностью. Есть всего две возможности – орел или решка. Вероятность выпадения решки равна ? (50%), то есть в половине случаев будет выпадать решка.

Вероятность показывает, как часто ожидаемый нами результат может быть достигнут, и может быть представлена как отношение ожидаемых исходов к общему количеству всех возможных исходов, за достаточно продолжительный период времени и при большом количестве повторений.
Вероятность события отражает количественную оценку возможности совершения этого события. Если она равная нулю, событие не может произойти в принципе. Когда она равна единице (100%) – событие произойдет обязательно.

Примеры:

В стандартной игральной колоде 52 карты, включая 4 туза. Вероятность вытаскивания из колоды одного из тузов составляет: (4 / 52) * 100 = 7,69%. На колесе европейской рулетки есть 37 ячеек: 1-36 – это цифры (18 красных и 18 черных) и зеленая отметка зеро.

• Вероятность выпадения любого числа равна (1/37)*100=2,7%.
• Вероятность выпадения красного номера – (18/37)*100=48,6%.
• Вероятность выпадения дюжины – (12/37)*100=32%

Соотношение выигрыша и проигрыша

Говоря о математической вероятности выигрыша в казино, довольно часто рассматривают ее как соотношение против выигрыша, то есть для анализа берется соотношения количества неблагоприятных результатов события к количеству благоприятных.

• При броске двух костей возможных вариантов может быть 36 (один кубик имеет шесть граней, каждая из которых может совпасть с любой гранью другого кубика).
• Рассмотрим вероятность получения при броске двух игральных костей числа, в сумме равного семи. Оно может выпасть в 6 случаях, при условии совпадения следующих цифровых комбинаций: 3 и 4; 5 и 2; 6 и 1; 4 и 3; 2 и 5; 1 и 6.
  Следовательно, в 5 случаях (из 6 бросков) результат будет отрицательным и только в одном случае положительным. Соотношение против выигрыша в рассматриваемом примере будет 5 к 1.
• Приведенный пример рассматривает взаимоисключающие события: при броске выпадают либо цифры, составляющие в сумме 7, либо цифры, составляющие в сумме другое число (не 7). События называют взаимоисключающими, если ни при каких условиях они не могут произойти одновременно.

Противоположные события:

• Противоположность события – это его дополнение. Дополнением орла является решка, дополнением красного цвета служит черный, дополнением четного числа – нечетное. Суммарная вероятность всех потенциальных исходов всегда равна 1.
• К примеру, при вытаскивании из колоды произвольной карты будет выбрана либо карта червовой масти [13 / 52, или 25%], либо карта другой масти [39 / 52, или 75%]. Аналогично, вероятность выбора червы или не червы равна: 13 / 52 [25%] + 39 / 52 [75%] = 52:52 = 1 [100%].
• А какова вероятность того, что произвольно выбранная карта окажется червой или пикой. Эти события взаимоисключающие и вероятность каждого из них – 13 к 52. Шанс выбрать карту червовой либо пиковой масти составляет 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2 [50%]

Этим же математическим законам и принципам подчиняются игры в казино.

Независимые события

Если вероятность исхода одного события не оказывает влияния на вероятность исхода другого, эти события называют независимыми. Подбросим монетку два раза. Результат второго броска абсолютно не зависит от результата первого броска. Оба этих события не оказывают влияния друг на друга, то есть являются независимыми.

• Вероятность того, что при двух бросках в обоих случаях выпадает решка, составляет: (1/2)2 = 1/4 (или 25%)
• Вероятность того, что при десяти бросках монеты каждый раз выпадет решка, составляет: (1/2)10 = 1/1024 (или 0.098%)
• В одном из казино Лас-Вегаса вниманию посетителей была представлена пара обычных игровых костей. Надпись внизу витрины гласила, что исключительность этих костей заключается в том, что однажды они совершили 28 пассов подряд. Отметим, что вероятность сделать 28 последовательных пасса при игре в "ДАЙС" составляет (0,493)28, или приблизительно 1 из 400 миллионов. Так казино признает уникальность этого события с точки зрения математики

Зависимые события

Определим вероятность того, что при вытаскивании из колоды трех случайных карт они окажутся тремя тузами. Шанс вытащить туза с первого раза определяется как 4 к 52. Если первая извлеченная нами карта – туз, то количество тузов в колоде станет равно 3, а количество карт – 51 шт. В этом случае вероятность вытаскивания еще одного туза будет 3 к 51. И третьего, соответственно, – 2 к 50 (50 карт, 2 туза в колоде).

• Выполним математический расчет вероятности положительного исхода описанного события: 4/52 * 3/51 * 2/50 = 0,000181, то есть 1 положительный результат из 5525 попыток.
• Каждое из трех событий последовательно влияет на вероятность исхода следующего за ним, то есть рассматриваемые события зависимы друг от друга.
• Если каждый раз после извлечения карты мы будем возвращать ее в колоду, события превращаются в независимые и, соответственно, вероятность извлечения 3-х тузов составит:
  4/52 * 4/52 * 4/52 = 0,000455, то есть 1 положительный результат из 2197 попыток.
• Каждое из трех событий последовательно влияет на вероятность исхода следующего за ним, то есть рассматриваемые события характеризуются как зависимые.

Математическое ожидание (Expected Value)

Суть, вкладываемая в понятие «математическое ожидание» (другие названия: ожидание игрока, ожидаемое значение), очень проста. Говоря популярным языком – это та сумма денег, которую вы можете выиграть или проиграть за достаточно долгий промежуток времени при условии, что будете делать одну и ту же ставку.

При желании можно рассчитать величину математического ожидания по формуле:

МО = (число положительных исходов [выигрышей] / число возможных исходов) * сумма выигрыша + (число отрицательных исходов [проигрышей] / число возможных исходов) * сумма ставки.

Поначалу выглядит как китайская грамота, но на самом деле все очень просто. Рассмотрим пример:

Вы ставите 1$ на то, что первая вытащенная вами из колоды карта окажется червой. В соответствии с теорией вероятностей, положительный исход (карта черва и мы выиграли +1$) наступит с вероятностью ?, отрицательный исход (карта другой масти и мы проиграли 1$) наступит с вероятностью ?.

Выполним расчет математического ожидания по приведенной выше формуле:

МО = 1/4 * (1$) + 3/4 * (-1$) = - ?$

Таким образом, за достаточно долгий промежуток времени ваш проигрыш составит 50 центов на каждый поставленный доллар, то есть, согласно математике, за 4 попытки вы будете проигрывать три раза по 1$ (проигрыш 3$) и выиграете 1 раз 1$.

Математическое ожидание при игре в рулетку

Рассчитаем математическое ожидание при игре в рулетку (американская версия с двумя секторами «зеро»: ноль и двойной ноль) при ставке 1$ на цвет (черное): 18/38 * (+1$) + 20/38 * (-1$) = -2/38 = -0.0526 (или -5.26%).

Как вы уже наверное заметили, в обоих приведенных примерах, величина математического ожидания имеет знак «-», что характерно для большинства ставок казино. Отрицательное математическое ожидание на практике означает, что, чем дольше длится игра, тем больше вероятность проигрыша для игрока.

Преимущество казино (House Edge) [доля заведения] – величина, противоположная математическому ожиданию игрока; она показывает, какой процент от ставок удерживается в пользу казино. Перевес казино в европейской рулетке составляет 1 - 36/37 = 2,7%, в американской рулетке уже 1 - 36/38 = 5,26% (за счет двух зеро). Это означает, что если поставить в рулетке в сумме 1000 долларов, велика вероятность проигрыша 27$ (в европейской рулетке) и 54$ (в американской рулетке). В настольных играх перевес казино меньше (Баккара, Блэкджек или Крэпс).

Для примера снова возьмем американскую рулетку, у которой 36 цифр и 2 сектора зеро. Предположим, что мы поставили на число. Оплата выигрыша в этом случае производится в соотношении 1 к 36:

• Вероятность выиграть: 1/38 или 2,63%;
• Возможный выигрыш игрока (в процентах к ставке): 1/38 * 36*100 = 94.74%;
• Процент казино: 100 – 94,7 = 5.26 %;
• Математическое ожидание: (1/38) * 36 (+1) + (37/38) * (-1) = -0,0263.

То есть, с каждого поставленного вами доллара игорный дом надеется заработать 2,63 цента. Другими словами математическое ожидание выигрыша в американской рулетке составляет -2.6% от каждой вашей ставки.

Математическая дисперсия в играх казино

В математике дисперсией называют величину отклонения какой-либо величины от ее среднего значения. В нашем случае это степень риска. Применительно к азартным играм, дисперсией называют степень отклонения результатов игры от их математического ожидания. Дисперсия вносит в азартные игры элемент непредсказуемости, обеспечивая возможность случайных выигрышей и проигрышей.

Своим существованием игорные заведения обязаны именно дисперсии, без которой не было бы азартности и азартных игр в принципе: любой исход просчитывался бы математически. Дисперсию нельзя отнести ни к положительному, ни к отрицательному фактору, она существует сама по себе как объективная реальность. В какой-то степени она компенсирует отрицательное математическое ожидание игрока, позволяя ему выигрывать (на короткой дистанции). В то же время она не позволяет создать достаточно результативную систему, гарантирующую выигрыш на длительной дистанции.

Нужно отметить, что при ставках "на цвет" дисперсия в рулетке проявляется очень незначительно. На практике, правда, зарегистрированы факты выпадения одного и того же цвета больше 15 раз подряд.

Закон больших чисел

Если вероятности наступления каких-либо событий идентичны, это не значит, что мы будем получать такой результат в любой ситуации. Допустим, мы подбросим сразу десять монет. Логично ожидать, что решка выпадет примерно в 50% случаях. Однако вполне реально получить цифру 60% или выше. Это следствие дисперсии, о которой мы говорили ранее.

Но если бросить монету десять тысяч раз, значения изменятся в сторону ожидаемой величины (50%). Фактическая вероятность получить 60 процентов или большего количества решек при произвольном бросании 10 монет = 0,377. Повторим предыдущий опыт, но уже для ста монет. Вероятность получить 60% решек равна 0,028, или приблизительно 1 из 35. Если бросить 1000 монет, получить 60% или большее количество решек в принципе невозможно. Вероятность этого события приблизительно равна 0.000000000136 (меньше чем 1 из 7 миллиардов). Хотя 50 процентов решек мы скорее всего не получим, но чем монет будем больше, тем ближе будет общий результат к среднему значению (50%).

Так работает "закон больших чисел", он гласит: точность соотношений ожидаемых (согласно теории вероятностей) результатов тем выше, чем большее число событий наблюдается.
С помощью этого закона можно точно прогнозировать только результат из огромной серии однотипных событий. И хотя результат каждого отдельного события непредсказуем, на большой выборке он максимально усредняется.

Выводы:

Не надо быть великим математиком, чтобы играть в казино. Можно даже не считать математическое ожидание и дисперсию – это сделали до вас, можно пользоваться готовыми результатами. Главное понимать, что игры с высоким значением математического ожидания (и тем более положительным) выгоднее для игрока, в них преимущество казино перед вами меньше. При выборе рулетки отдавайте предпочтение европейскому варианту (с одним «зеро»), в нем преимущество казино будет 2,7%, а в американской версии (с двумя «зеро») доля заведения уже 5,26%.

Рекомендую так же обратить внимание на онлайн казино, где предлагают рулетку без «зеро» (Zero edge Roulette). Это самая выгодная разновидность этой игры вообще. Преимущество казино в этом случае снижается с 2,7% (в европейской рулетке) до 0. Правда данный факт компенсируется рядом правил, которые я настоятельно рекомендую внимательно читать перед началом игры. Свою долю онлайн казино берет или в виде комиссии от суммы вашей ставки, или удерживает фиксированный процент от выигрыша игрока. Второй вариант представляется мне более предпочтительным.

Но в любом случае нельзя забывать о дисперсии. И чем она выше, тем больше вас будет «лихорадить» в игре. Помните, что вся математика азартных игр корректно работает только в случае большого количество попыток; так что достигнуть на практике расчетных ожидаемых величин достаточно сложно, из-за ограниченности бюджета игрока, величины ставок или времени игры.