Неравенства Белла
Неравенства Белла
Анти-дополнение к заметке Гарика .
В нелюбви к квантовой механике
(точнее, к восприятию ее в качестве теории, описывающей реальность, а не
процесс измерений) меня уже уличали не раз. ;-) Вот и здесь я хочу
привести альтернативный взгляд на эксперименты по проверке неравенств
Белла. В частности, эксперименты Аспекта (см. оригинальные статьи ,). Взгляд
Гарика на эти вещи совершенно точно отражает официальную позицию, которая,
вполне возможно, и является верной. Но все таки есть и другие точки
зрения, вполне возможно и неверные, об одной из которых (т.н. локальном
недетерминизме AKA локальном индетерминизме AKA local indeterminism) я
хочу здесь рассказать.
Эксперименты Алана Аспекта считаются
доказательством наличия "телепатии" в квантовом мире, spooky action at a
distance или нелокальности. В них проверяется выполнение неравенств,
полученных Джоном Беллом. Эти неравенства должны выполняться для широкого
класса теорий со скрытыми переменными (предполагающими, что свойства
микрообьектов имеют определенное значение до того как их измерили) и
нарушаются квантовой механикой. Аспект (в т.ч.) провел экспериментальную
проверку выполнения этих неравенств для пар когерентных фотонов и пришел к
выводу о том, что они таки нарушаются (а значит есть дальнодействие,
нелокальность, и т.д.).
Мы здесь, вооруженные языком J, поставим
ряд численных экспериментов и убедимся, что (в той мере, в которой можно
понять процедуру, проведенную Аспектом в упомянутой работе), результаты
его измерений и рассчетов согласуются с моделью локального недетерминизма,
предполагающей таки наличие у фотонов определенной поляризации и не
требующей никакого дальнодействия.
Вкратце,
схема эксперимента, впервые предложенного в работе Эйнштейна, Подольского
и Розена следующая (для более подробного описания, рекомендую заглянуть на
, с
которой я перепечатал эту картинку).
где ? и ? направления осей поляризаторов (от них зависят относительные вероятности различных событий и, как следствие, коэффициент корреляции). E(?,?) принимает значения от 1 (означающее, что потоки фотонов вдоль оси обоих поляризаторов в точности совпадают) до -1 (когда поток "вдоль" одного из поляризаторов совпадает с потоком "поперек" другого), тоесть от полной корреляции до анти-корреляции.
Неравенство Белла (точнее, его усовершенствованная версия CHSH, названная по первым фамилиям авторов) заключаются в том, что величина
Квантовая механика предсказывает максимальное значение S=2v2 = 2.82843 > 2, тоесть нарушение этого неравенства. Вопрос теперь заключается в том -- нарушается ли оно в эксперименте. Если оно нарушается -- то значит один фотон, будучи измеренным, определяет поляризацию другого фотона (находящегося от него на расстоянии 13м, которое свет за 18 наносекунд пройти не успевает), тоесть, имеет место "spooky action at a distance" (более подробно см. elsewhere).
Алан Аспект утверждает, что в его эксперименте получено значение S>2, свопадающее с предсказанием квантовой механики. Мы сейчас проведем численный эксперимент, основывающийся на предположении, что поляризация фотона четко определена и не требующий никакого дальнодействия. Далее мы обработаем его результаты аналогично тому, как обработал их Аспект, и тоже получим нарушение неравенства Белла.
Итак, первым делом нам нужно научиться генерировать поток фотонов со случайной (но определенной для каждого фотона) поляризацией. Делать это мы будем при помощи глагола photons, определяемого и работающего следующим образом:
photons =: [: +:@:o.@:? 0&(#~) photons 10 2.81562 1.54684 3.48911 0.280702 1.17107 0.6156 4.20375 4.28221 2.23325 3.8509
Аргументом служит количество требуемых фотонов, на выходе получаем массив их случайных равномерно распределенных в интервале (0,2?) поляризаций.
Теперь соорудим сплиттер. У него уже будет два аргумента: слева -- направление его оси (угол в радианах), а справа поток фотонов. На выходе он выдаст массив нулей и единиц, обозначающий по какому каналу ("вдоль" или "поперек") пошел данный фотон. Определяется и работает сплиттер так:
splitter =: ([: ? 0 #~ #@]) <: [: *:@cos - 0 splitter photons 10 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0Тоесть, работает он вероятностно (потому в описании этого способа интерпретации присутствует слово "индетерминизм"). Вычисляется квадрат косинуса угла между поляризацией фотона и направлением оси сплиттера (совершенно классический и общеизвестный закон Малюса), а потом генерируется случайное число в интервале (0,1). Если это число меньше вычисленного косинуса квадрата -- фотон отправляется по каналу "вдоль" (для него в результирующем массиве выдается 1), если меньше -- по каналу "поперек".
Для развлечения и проверки, сконструируем на базе сплиттера еще и поляризатор:
polarizer =: [ #~ [: +/ splitter 0 polarizer photons 10 0 0 0 0 1r2p1 polarizer photons 10 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708Тоесть он, получая в качестве аргумента направление оси, просто выбрасывает те фотоны, которые сплиттер посылает по каналу "поперек", а пролетевшим задает определенное направление поляризации, совпадающее с направлением оси (константа 1r2p1 на языке J служит записью числа ?/2).
Имея поляризатор мы уже можем поставить, для проверки, один из известных (и на первый взгляд неочевидных) экспериментов. Когда мы подаем на поляризатор (с любым направлением оси) поток неполяризованных фотонов, в среднем, через него проходит только каждый второй:
# 1r2p1 polarizer photons 1000000 500189Если поставить в ряд два поляризатора, оси которых направлены под углом 90 градусов (&pi/2) друг к другу -- не пройдет ни один фотон:
# 0&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000 0А вот теперь, если вставить между ними поляризатор с промежуточным углом (в данном случае, с направлением оси 45% или pi/4 или 1r4p1), то фотоны, "вдруг", снова начнут проходить:
# 0&polarizer 1r4p1&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000 125129Точнее, их пройдет восьмая часть от исходного неполяризованного света, либо четвертая часть от света, прошедшего через первый поляризатор. Тоесть наши поляризатор и сплиттер правильно воспроизводят этот классический эффект.
Вернемся к эксперименту Аспекта. Первое, что он измерил -- вероятность совпадения результатов в обоих сплиттерах (справа и слева от источника). Мы это тоже можем легко посчитать
coinccount =: (splitter~ {.@])~ (+/@:=) (splitter~ {:@])~
0 0 coinccount photons 1000000
749693
0 1r2p1 coinccount photons 1000000
250234Здесь справа задается поток фотонов, а слева углы поворота
осей обоих сплиттеров, левого и правого (в данном случае оба угла равны
нулю). На выходе получаем количество совпадений. Как видим, при
перекрестной ориентации осей сплиттеров, часть фотонов все равно проходит.
Применим первый трюк Аспекта (ну мы-же хотим доказать правильность
квантовой механики, а ради такой великой цели можно ВСЕ ! ;-) и вычтем
этот "фон" (accidental rates, как он это называет). Потом построим график
зависимости вероятности совпадений от угла между поляризаторами (теперь
уже выраженного в градусах)crate =: (1000000 %~ [: coinccount&(photons 1000000) [: (0&,)@:(1p1&*) %&180) crate 90 0.249762 crate 0 0.750904 load 'plot' plot (];(crate@:(90"_) -~ crate)"0) 90 * 9%~ i. 10
Теперь посчитаем корреляцию E(??).
0 0 eab photons 1000000 498802 1r2p1 1r2p1 eab photons 1000000 500400 0 1r2p1 eab photons 1000000 _499564 0 1r4p1 eab photons 1000000 _1288Как видим, корреляция меняется в пределах от половины числа событий до минус половины числа событий (т.е. от 1/2 до -1/2). Это согласуется с аналогичным верхним пределом для вероятности совпадения событий и с наличием вычтенного "фона". Если подставить такую корреляцию в формулу для S то окажется, что неравенства Белла выполняются (и ничего квантового в системе нет). Тут наступает время для второго трюка Аспекта (он не описан им явно, и потому, возможно я и не прав, но по-другому, насколько я вижу, просто не получается) -- перенормировке корреляций. Мы будем делить корреляцию не на полное число фотонов (которое в эксперименте Аспекта тоже не известно), а на на максимальное количество фотонов, которые мы видим при самой благоприятствующей прохождению ориентации поляризаторов (тоесть на половину от этого числа, в данном случае на 500000). Тогда получится, что, при изменении углов, eab меняется в интервале от -1 до 1.
eabnorm =: 500000 %~ [: eab&(photons 1000000) [: (1p1&*) %&180 plot (];([: eabnorm 0&,)"0) 90 * 9%~ i. 10
Теперь дело за малым. Вычисляем eab для разных значений ? и ?, при которых ожидается наибольшее отклонение предсказаний классической механики от предсказаний квантовой
eabnorm 0 22.5 0.709056 eabnorm 0 67.5 _0.70588 eabnorm 45 22.5 0.709096 eabnorm 45 67.5 0.70486(сравните с таблицей на вот , посвященной более детальному описанию эксперимента Аспекта) и вычисляем S
(0.706968 - _0.705128) + (0.706908 + 0.707384) 2.82639Получаем нарушение неравенств Белла в точном соответствии с предсказаниями квантовой механики. Стоп ! Но ведь квантовой механики у нас никакой не было ! ;-))
Вы скажете, что нам пришлось местами подмухлевать ? Да, пришлось. Но мы этого и не скрываем... ;-)
Так что ? Есть действие на расстоянии ? Вы еще доверяете квантовой криптографии ? Хотите вложить деньги в фирму по производству квантовых компьютеров ? ;-))