Тема форума: «Работа с отстающими детьми»

На всякий случай изложу алгоритм умножения чисел 6,7,8,9 на любое из этих четырёх (например 6х7, 8х8, 9х7). То есть по сути всего лишь шестнадцать вариантов. Это четверть таблицы Пифагора от двух до девяти. Но это четверть самых крупных чисел, на которую может не хватать памяти при быстром заучивании :)

Алгоритм позволяет собственно на пальцах считать. Со временем само запомнится, и можно будет не растопыривать пальцы в людном месте. Мы привыкли когда дети прибавляют на пальцах числа меньше пяти например. Но оказывается на пальцах можно умножать числа от шести до девяти.

Алгоритм умножения на пальцах на примере 7х9

1 Изобразить одной рукой первое число.

Ладошка раскрыта. Нужно изобразить например число 7. Считаем раз, два, три... и одновременно загибаем пальцы. Говорим пять - кулачок весь сжат. Пальчики на ручке закончились. Вторая ручка занята, нужна для другого числа, её пока нельзя использовать. Поэтому применяем хитрость. Говорим шесть - разгибаем указательный палец из сжатого кулачка. Говорим семь - разгибаем ещё и средний палец. Есть теперь число семь на одной руке - два пальчика разогнуты, три согнуты.

2 Изобразить второй рукой второе число.

Аналогично. Например 9 - из кулачка-пятерки разгибаем четыре пальца, и один остается согнуты.

3 Само умножение.

3.1 Десятки

Теперь смещаем понятия. Разогнутые пальцы, они длинные - это десятки. Результат окончательный должен быть средним, а не большим. Поэтому для длинных разогнутых пальцев-десятков применяется короткая операция - сложение. А для коротких согнутых пальцев-единиц применяется длинная операция - умножения. Такое взаимодополняющее сочетание сделает результат средним, как нам и нужно.

От руки-семёрки у нас два разогнутых пальца - 20. От руки-девятки четыре разогнутых - 40. Прибавляем. 20+40=60.

Совет. Разогнутые пальцы можно положить друг на друга, чтобы подчеркнуть факт сложения. Плюс их можно взглядом пересчитать в таком виде и умножить на десять, если сложно прибавлять в уме.

3.2 Единицы

Согнутые пальцы короткими выглядят, потому что свёрнуты - это единицы. Они такие маленькие, невзрачные. Если их прибавить - получится маленькое число. А нам нужно среднее. Поэтому применяется большая операция - умножение. Сделаем большое умножение маленьких единиц - и получим средненькое число.

От руки-семёрки у нас три согнутых пальца - 3. От руки-девятки один согнутый - 1. Умножаем. 3х1=3.

3.3 Результат

Вот мы вышли в полуфинал, осталось получить окончательный результат. Прибавляем результаты полученные для десятков и единиц.

От десятков мы получили 60. От единиц мы получили 3. Прибавляем. 60+3=63

Послесловие. Чем крупнее числа, тем легче выполняется алгоритм. Если числа маленькие, например минимальный случай 6х6 (шестерка - один разогнутый, четыре согнутых), то для десятков выйдет 10+10=20, для единиц 4х4=16, для окончательного результата 20+16=36. В принципе могут возникнуть сложности из-за переноса в старший разряд при умножении единиц. Если же числа побольше, (минимум 6х8, 7х7), переноса в старший разряд уже не будет. По сути неудобны только 6х6 и 6х7 (7х6) - три случая из шестнадцати. Для больших чисел без переноса в старший разряд смотрите как просто: 9х9 (девятка - четыре разогнутых, один согнутый)=(40+40)+(1х1)=80+1=81.

Можно на первых порах после тренировки приловчится визуализировать руки, чтоб учитель не заметил счета на пальцах. Лично я не пробовал натаскивать себя в этом.

Информация взята из книги по истории математики, которую я в детстве брал в школьной библиотеке. Автора и название не помню. Могу поискать если кто-то попросит. Там было написано что так считали торговцы в древнем Риме, поскольку в их римской непозиционной системе сложности со счётом в столбик. Может у них даже не изобрели счёт в столбик, не помню, я тогда ещё не родился :) Даже в позиционной системе вычисления столбиком не дают преимущества при работе с одноразрядными числами :) Но в римской системе уже двойка не одноразрядная. Поэтому там самое оно придумать вычисление столбиком для маленьких чисел, но вроде не придумали. А этот счёт на пальцах типа компенсировал недостатки системы счисления и ускорял расчёты. Вроде что-то такое было.

Я сам не поверил что так можно считать, потом проверил несколько вариантов, всё сошлось с таблицей умножения. Думаю можно алгебраически разрулить, если пробовать доказать алгебраическое выражение х*у=10*[(х-5)+(у-5)]+[(10-х)*(10-у)]. У меня только что получилось на листочке.

Не знаю будет ли это полезно детям. Думаю ясно что здесь риторика используется для илюстрации способа внедрения алгоритма в ум ребёнка посредством ассоциаций.

Нашел из какой это книжки я взял.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

II. История математики на внеклассных занятиях. Глава 7. Из истории арифметики. § 1. Пальцевой счет. Различные приемы умножения. с. 126
 
Там точно об этом, но допускаю что в детстве в другой прочитал. Просто в детстве одну прочитал, а сейчас у меня много в электронном виде на тему истории математики.