Великой теореме Эмми Нётер — 100 лет
Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала важнейшим инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения (например, если в изолированной системе частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в этой системе выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер — и этот результат, наряду с последовавшими важнейшими работами по абстрактной алгебре, заслуженно позволяет многим считать Нётер величайшей женщиной в истории математики.
Исторические ассоциации
Для начала — небольшое, но поучительное отступление от основной темы. В 60-е годы ХХ века на встрече со студентами МГУ замечательный московский математик Дмитрий Евгеньевич Меньшов рассказывал о Московской математической школе:
«В 1914 году я поступил в Московский университет. Николай Николаевич Лузинтогда был за границей. Но он договорился с Дмитрием Федоровичем Егоровым, что они организуют семинарий для студентов. И в 1914 году Дмитрий Федорович такой семинарий организовал. Он был посвящен числовым рядам. В следующем году Николай Николаевич вернулся в Москву и начал руководить семинарием сам. В 1915 году мы занимались функциональными рядами, а в 1916 году — ортогональными рядами.
А потом наступил тысяча девятьсот семнадцатый год. Это был очень памятный год в нашей жизни, в тот год произошло важнейшее событие, повлиявшее на всю нашу дальнейшую жизнь: мы стали заниматься тригонометрическими рядами...»
Итак, для Меньшова главным событием 1917 года оказался переход к исследованию тригонометрических рядов! Не зря же порой утверждают, что у математиков восприятие окружающего мира несколько своеобразно.
Аналогичным образом могли бы охарактеризовать случившееся в конце июля 1918 года профессора знаменитого математического факультета Геттингенского университета. Мир вокруг них рушился, хотя, возможно, они этого еще не поняли. На Западном фронте бесславно закончилась Вторая битва на Марне — последнее крупное наступление кайзеровских армий, ставшая прелюдией поражения Германии в Великой Войне. 16 июля в подвале Ипатьевского дома убили царскую семью и ее немногочисленную свиту. В эти роковые дни, точнее 23 июля, участники семинара заслушали сообщение о теореме, которая со временем превратилась в чрезвычайно эффективный инструмент фундаментальной науки. Осенью расширенный и доработанный текст доклада был опубликован в журнале Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse. Эта статья, озаглавленная Invariante Variationsprobleme, вошла в золотой фонд математической и теоретической физики (доступны на немецком и на английский).
У ее автора тогда не было никакого формального статуса в германском академическом мире. Хотя 36-летняя Эмми Нётер успела защитить докторскую диссертацию и опубликовала 12 оригинальных работ, ее пол полностью перекрыл возможность войти в университетские круги Германии. В частности, она не могла (и даже в будущем не смогла) стать членом , где ее работу спустя три дня после доклада представил великий математик Феликс Клейн (вполне возможно, что Эмми Нётер даже не присутствовала на этом заседании). Да и позднее, уже в двадцатые годы, став математиком с мировым именем, она была вынуждена довольствоваться в Геттингенском университете до неприличия низким жалованьем и очень скромным положением. Возможно, в этом были повинны и ее еврейское происхождение, и весьма левые взгляды.
Долгий путь к вершинам
Великие математики обычно проявляют свои уникальные способности с ранних лет. Однако нет правил без исключений.
Макс Нётер (1844–1921). Фото с сайта en.wikipedia.org
Эмми Нётер (Amalie Emmy Noether) родилась 23 марта 1882 года в провинциальном баварском городе Эрлангене. С 1743 года там существовал «свободный» (то есть, не связанный с религиозными деноминациями) университет имени Фридриха-Александра, один из трех в тогдашней Германии (два других были учреждены ранее в Галле и Геттингене). Учили там неплохо, но особыми научными достижениями его профессура похвастаться не могла. Правда, в 1872–75 годах в Эрлангене работал молодой Феликс Клейн. При вступлении в должность он прочел ставшую знаменитой лекцию «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований», где содержались наброски плана радикального обновления геометрии на базе абстрактной алгебры, включая теорию групп. Эта лекция, вошедшая в историю науки как Эрлангенская программа, оказалась важной вехой для развития математики второй половины XIX века. Однако Клейн через три года сменил Эрланген на Мюнхен. После него в штате университета Фридриха-Александра состояли математики хоть и хорошие, но не первого ранга. Одним из них был отец Эмми, занимавший профессорскую кафедру до 1919 года. Макс Нётер плодотворно занимался алгебраической геометрией, в 1870-е годы доказал (один или в соавторстве) несколько весьма нетривиальных теорем, но затем посвятил себя одному лишь преподаванию. Там же читал лекции видный алгебраист Пауль Гордан, который со временем сыграл немалую роль в судьбе дочери своего коллеги.
Маленькая Эмми была самым обычным ребенком — милая и умная девочка, но отнюдь не вундеркинд. В семь лет она поступила в муниципальную женскую гимназию, где училась хорошо, но не блестяще. В апреле 1900 года сдала государственные экзамены, дающие право преподавать английский и французский языки в женских школах королевства Бавария. Однако вместо того, чтобы искать место учительницы, она поступила вольнослушателем в Эрлангенский университет, поскольку в полноправные студенты девушек тогда не брали. Зимой 1903–04 годов она провела семестр в Геттингене, где слушала лекции таких звезд германской науки, как математики Герман Минковский, Феликс Клейн и Давид Гильберт и астрофизик Карл Шварцшильд. По возвращении в Эрланген она осенью 1904 года получила университетский диплом по специальности «математика». Это позволило ей продолжить образование на философском факультете, где в декабре 1907 года под руководством Гордана она защитила докторскую диссертацию, и даже с отличием — . На следующий год ее диссертация появилась в весьма престижном «Журнале чистой и прикладной математики» (Journal für die reine und angewandte Mathematic), более известном по имени своего основателя как журнал Крелля (Crelle's Journal). Это была ее первая научная публикация, причем весьма солидного объема — 68 страниц (чуть раньше трехстраничный дайджест этой работы появился в сборнике трудов Физико-Медицинского общества Эрлангена).
После защиты Эмми семь с половиной лет оставалась в Эрлангене в весьма двусмысленной роли неоплачиваемого и не имеющего должности сотрудника университетского Математического института. Она руководила несколькими докторантами, иногда подменяла отца в качестве лектора и, конечно, занималась собственными исследованиями. В 1909 году она получила первое институциональное признание, став членом Немецкого математического общества.
Примерно до 1911 года Эмми Нётер в общем не выходила из круга проблем, которыми занималась при подготовке диссертации. Они всецело лежали в области научных интересов Пауля Гордана. Эти задачи требовали трудоемких вычислений, но в идейном плане ничего особенного не представляли. Через много лет она говорила о них без малейшего пиетета и даже признавалась, что совершенно позабыла формальный аппарат, которым некогда пользовалась. Однако в ретроспективе очевидно, что приобретенный опыт немало помог для доказательства ее великой теоремы.
На этом стоит остановиться подробнее. Пауль Гордан с конца 1860-х годов занимался алгебраическими инвариантами, став одним из крупнейших специалистов в этой области математики. Исторически эти исследования восходят к трудам таких титанов, как Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и, особенно, Карл Фридрих Гаусс, которые вышли на эти проблемы в рамках теории чисел. В этой теории немалую роль играют так называемые алгебраические формы — однородные полиномы любой степени от двух или большего числа переменных. Самый простой из них в стандартной записи выглядит так:
где x и y — независимые переменные, a, b и с — постоянные коэффициенты.
Это бинарная квадратичная форма, иначе говоря, форма второй степени от двух переменных. Тернарная (то есть, от трех переменных x, y и z) квадратичная форма выглядит аналогично, только длиннее:
Для примера можно еще выписать и бинарную кубическую форму:
Дальнейшие примеры, наверно, излишни.
Переменные, сколько бы их ни было (то есть, какова бы ни была размерность пространства этих переменных) можно подвергнуть линейному преобразованию(перейти к новым переменным, которые будут линейными комбинациями старых). Геометрически такое преобразование означает поворот координатных осей с одновременным изменением масштаба длины вдоль каждой оси. При записи формы в новых переменных ее коэффициенты, конечно, изменяются. Однако же, и это самое важное, некоторые функции от этих коэффициентов либо сохраняют свое численное значение, либо умножаются на общий множитель, который зависит лишь от конкретного преобразования переменных. Эти функции и называются алгебраическими инвариантами. Если множитель, о котором идет речь, равен единице, инвариант именуется абсолютным. Легко показать, что инвариантом (хотя и не абсолютным) бинарной квадратичной формы служит ее дискриминант b2−acb2−ac, хорошо известный из школьной алгебры. Бинарная кубическая форма имеет уже целый ряд инвариантов. Даже простейший из них, найденный в 1844 году немецким математиком Фердинандом Эйзенштейном, куда длиннее: 3b2c2+6abcd−4b3d−4ac3−a2d23b2c2+6abcd−4b3d−4ac3−a2d2.
Понятно, что разные типы алгебраических форм имеют разные семейства инвариантов, подчас очень многочисленные. Их вычислением многие годы занимался Гордан, которого не зря называли королем теории инвариантов. Именно такую задачу — найти полный набор инвариантов тернарной биквадратичной формы — он предложил своему единственному докторанту Эмми Нётер. Она ее блестяще решила, составив список аж из трехсот тридцати одного инварианта! Вероятно, эта работа ей так надоела, что много лет спустя она охарактеризовала ее как бредятину — с возрастом она стала весьма остра на язык.
В 1910 году Гордан подал в отставку. Через год его кафедру занял Эрнст Фишер (Ernst Fischer), ученый с куда более современными математическими интересами. Общение с Фишером облегчило Эмми Нётер знакомство со многими новыми идеями, в частности, с работами в области абстрактной алгебры и теории непрерывных групп. Тем самым ее научные устремления сблизились с интересами Давида Гильберта и прочих геттингенских математиков, которые не шутя заинтересовались ее работами. Так и получилось, что весной 1915 года Клейн и Гильберт пригласили Нётер перебраться в свой университет, рассчитывая обеспечить ей должность приват-доцента. Однако тогда из этого ничего не вышло. Несмотря на представленный соискателем в ноябре 1915 года доклад, университетский Сенат отказал Эмми Нётер в утверждении «из-за неисполнения формальных правил». Имелось в виду утвержденное в 1908 году положение, согласно которому приват-доцентами могли быть только мужчины. Защитники Эмми апеллировали к министру культуры, но он отказался вмешиваться. Согласно распространенной легенде, именно в этой связи Гильберт заявил коллегам, что не видит, с какой стати пол кандидата может быть препятствием к занятию должности приват-доцента, поскольку университет — это все же не баня.
Даже если он так и сказал (документальных подтверждений этому нет), его ядовитая риторика не возымела действия. Еще три года Эмми фактически работала как ассистент Гильберта и иногда читала вместо него лекции, но, как и в Эрлангене, всего лишь на птичьих правах. Только в 1919 году, уже в эпоху Веймарской республики, она наконец-то стала приват-доцентом, а еще четыре года спустя университет почтил ее довольно странным титулом неофициального экстраординарного профессора (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Правда, это звание, как и приват-доцентура, не давало права на регулярное жалованье. Однако Гильберту и другой звезде геттингенской математики Рихарду Куранту удалось пробить для нее в университете занятия по алгебре, которые все же оплачивались, хотя и очень скромно (200–400 марок в месяц), причем ее контракт требовал ежегодного подтверждения от прусского Министерства науки, искусств и просвещения. В этом качестве Эмми Нётер проработала в Геттингене до 1933 года. После прихода к власти Гитлера, когда ученые-евреи были изгнаны из германских университетов, она переехала в США.
Теорема по заказу
Вскоре после приезда Эмми Нётер в Геттинген там произошли события, которые стали прелюдией к ее первой великой работе. Летом 1915 года Альберт Эйнштейнв шести лекциях ознакомил геттингенских коллег с основными идеями своей (тогда еще не законченной, но уже близкой к завершению) релятивистской теории гравитации, более известной как общая теория относительности. Среди слушателей был и Гильберт, который серьезно заинтересовался эйнштейновскими идеями. В ноябре Эйнштейн написал окончательную версию уравнений ОТО, о чем доложил на четырех заседаниях Прусской Академии наук (см. ). Чуть позже Гильберт заново вывел эти уравнения на основе принципа наименьшего действия, о чем и сообщил в статье, опубликованной в конце марта 1916 года. Этот вывод изящней первоначального вывода Эйнштейна и заслуженно фигурирует во многих учебниках, например, в Ландау и Лифшица.
В ходе этой работы Гильберт столкнулся с весьма серьезной проблемой. Он понял, что новая теория гравитации заставляет иначе взглянуть на священную корову физики — закон сохранения энергии. Ньютоновская теория тяготения и максвелловская электродинамика считают энергию измеримой физической величиной, которая определена в любой точке пространства и в любой момент времени (или в любой точке пространства-времени, если воспользоваться языком специальной теории относительности). В теории Эйнштейна такая интерпретация сталкивается с затруднениями, которые и заметил Гильберт.
Для начала — одно уточнение. Ньютоновская гравитация не обладает собственной динамикой, поскольку изменения поля тяготения возникают только вследствие перемещений создающих его тел. Электромагнитное поле, напротив, динамично само по себе. В нем возможны волновые процессы, которые переносят энергию. Однако суммарный поток энергии электромагнитного поля через границы любой замкнутой области пространства равен скорости изменения полной энергии, содержащейся в этом объеме. Это и есть закон сохранения электромагнитной энергии в физически осмысленной форме.
Иное дело эйнштейновское тяготение. В отличие от ньютоновского, оно динамично, и в нем, как и в электромагнитном поле, возможны волновые процессы. Однако его динамика гораздо сложнее. Уравнения ОТО могут быть записаны в произвольных системах пространственно-временных координат, между которыми возможны гладкие преобразования. За счет таких преобразований можно занулить величину поля тяготения в любой произвольно выбранной точке и ее бесконечно малой окрестности. Физически это означает, что туда можно посадить воображаемого наблюдателя, который не сможет зарегистрировать силу тяготения (в этом и состоит эйнштейновский принцип эквивалентности). Отсюда следует, что в ОТО однозначная локализация энергии в принципе невозможна. Вопрос, как быть с законом ее сохранения, сильно беспокоил Гильберта, и он попросил Эмми Нётер с этим разобраться. Именно эта задача и привела Нётер к ее теореме.
Конечно, Гильберт сделал выбор не на пустом месте. Он знал, как блестяще Нётер продемонстрировала свой математический дар при вычислении алгебраических инвариантов. Анализ условий, при которых выполняются законы сохранения физических величин (в частности, энергии) также требовал работы с инвариантами, но иного рода — дифференциальными (см.: Differential invariant). Так что у Гильберта, равно как и у заинтересованного в этой же проблеме Феликса Клейна, были все основания рассчитывать на помощь своей бывшей студентки.
Эти ожидания она не только оправдала, но и превзошла. Эмми Нётер скорее всего приступила к выполнению гильбертовского задания осенью 1915 года. В конце концов она получила чрезвычайно сильные результаты, чья область применения оказалась много шире рамок задачи, изначально поставленной Гильбертом. Как оказалось, эта область включает не только ОТО и другие полевые теории классической физики, но и теории квантованных полей, развитые во второй половине двадцатого века. Разумеется, в 1918 году оснований ожидать такого успеха просто не существовало.
В самой общей форме суть теоремы Нётер можно выразить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся находить те характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти системы. Например, наша планета движется по своей орбите с переменной скоростью, однако воображаемый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера). Полный электрический заряд изолированной макроскопической системы не изменяется, какие бы внутренние превращения она ни претерпевала; точно так же, абсолютным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер следует, что само существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями некоторой фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Выражаясь иначе, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех или иных симметрий. Этот вывод стал самым универсальным инструментом выявления таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого, его можно назвать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.
Величина, о которой только что шла речь, называется действием. Ее конкретный вид зависит от системы, чье поведение она описывает. По форме это одномерный или многомерный интеграл от столь же фундаментального функционала — лагранжиана. В реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — чаще всего, достигает минимума. Это утверждение, не вполне точно называемое принципом наименьшего действия, позволяет с помощью методов вариационного исчисления записывать уравнения, описывающие динамику системы.
Как уже говорилось, именно таким методом Гильберт получил уравнения ОТО иначе, нежели это сделал Эйнштейн. Разумеется, ему сначала потребовалось определить, как в данном случае выглядит действие и, соответственно, лагранжиан, в чем он и преуспел (почти одновременно вывод уравнений ОТО на основе принципа наименьшего действия осуществил Хендрик Антон Лоренц, а в 1916 году — и сам Эйнштейн). Не вдаваясь в подробности, отмечу, что гильбертовский лагранжиан (Einstein–Hilbert action) зависит от компонентов метрического тензора, определяющих деформацию пространственно-временного континуума, которая, согласно ОТО, проявляет себя как сила тяготения.
Теперь вернемся к Эмми Нётер. В ее статье задействована весьма высокая математика, которую никак не описать словами. Все, что можно сделать — обрисовать общую идею. Подобно Гильберту, она работала с принципом наименьшего действия. Ее интересовали последствия математических операций, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численную величину — или, в более общем случае, изменяют ее не слишком сильно (конечно, для этого «не слишком» есть точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным. Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или даже целому классу преобразований называется симметрией. Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.
Эту задачу она решала в очень общей форме, но с одним существенным ограничением. Преобразования симметрии могут быть как непрерывными, так и дискретными. Примеры первых — сдвиги вдоль координатных осей или повороты на произвольные углы. Дискретные преобразования, напротив, допускают лишь конечное или, максимум, счетное число изменений. Например, окружность остается неизменной при любых поворотах вокруг своего геометрического центра, а квадрат — только при поворотах, кратных 90 градусам. В первом случае мы имеем дело с непрерывной симметрией, во втором — с дискретной. И те, и другие симметрии описываются с помощью теории групп, но при этом применяются разные ее ветви. Дискретные преобразования, интересующие физику, используют теорию групп с конечным числом элементов. Для описания непрерывных симметрий используют бесконечные группы определенного типа, которые называются группами Ли в честь великого норвежского математика Софуса Ли. Эмми Нётер исследовала связь между законами сохранения и непрерывными симметриями, поэтому в своей работе она пользовалась теорией групп Ли. Стоит отметить, что дискретные симметрии тоже могут привести к тем или иным законам сохранения, однако в этом случае теорема Нётер непременима.
К началу второго десятилетия прошлого века теория групп Ли была хорошо разработана не только самим Ли, но и другими математиками, прежде всего немцем Вильгельмом Киллингом и французом Эли Картаном. Тогдашние физики практически не были с ней знакомы, но у Эмми Нётер, было время и желание изучить ее еще в Эргангене. Теперь же она ее применила — и с большим успехом.
Эмми Нётер рассмотрела преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть, каждый элемент группы Ли) зависит от конечного (можно даже и счетного) количества численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения определяются одним параметром (углом поворота), а пространственные — тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Напротив, эйнштейновская ОТО основана на принципе полной ковариантности уравнений, то есть возможности записать их в любой четырехмерной системе координат (что физически означает возможность произвольно выбрать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени). Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.
Как следствие, теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассмотрела инвариантность действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствя тех или иных симметрий.
Вот несколько примеров. Возьмем изолированную (то есть свободную от внешних воздействий) систему частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения (в роли частиц могут выступать планеты, обращающиеся вокруг условно неподвижной звезды). Для такой системы действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Аналогично, инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества движения.
Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной, если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.
Аналогична и ситуация для систем, которые описываются релятивистской механикой. Здесь нет разделенных времени и пространства, на смену им пришел единый четырехмерный пространственно-временной континуум, известный как пространство Минковского. Максимальная симметрия такого пространства-времени дается десятипараметрической группой Ли, известной как группа Пуанкаре. У нее есть четырехпараметрическая подгруппа, которой отвечают сдвиги в пространстве Минковского. Инвариантность действия относительно этих сдвигов приводит к сохранению четырехмерного вектора, одна из компонент которого соответствует энергии, а три — импульсу. Отсюда следует, что в каждой инерциальной системе отсчета энергия и импульс сохраняются (хотя их численные величины в различных системах не одинаковы).
Все эти выводы были очевидны сразу после публикации теоремы Нётер. Вот еще один пример, который был осознан, когда была построена квантовая электродинамика. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не с самой физической системой, а с ее, если так можно выразиться, отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, «вписанных» в лагранжиан (для любителей точности — симметрии математических конструкций, представляющих эти поля). Эта возможность тоже ведет к открытию различных законов сохранения.
Возьмем лагранжиан свободного релятивистского электрона, который позволяет вывести знаменитое уравнение Дирака. Он не меняется при таком преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это означает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия называется глобальной). Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол. Следовательно, оно описывается однопараметрической группой Ли — так называемой группой U(1). В силу исторической традиции, восходящей к великому математику и ученику Гильберта Герману Вейлю, ее относят к большой группе симметрий, именуемых калибровочными. Из теоремы Нётер следует, что глобальная калибровочная симметрия этого типа влечет за собой сохранение электрического заряда. Не слабый результат, и уж отнюдь не тривиальный!
Вторая теорема Нётер не столь прозрачна. Она описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. Оказалось, что в общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в общей теории относительности не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения непрерывно теряют энергию — это всем известный феномен космологического красного смещения.
Две судьбы
Статья в Nachrichten значительно продвинула научную карьеру Эмми Нётер. На фоне послевоенного ослабления мужского шовинизма 21 мая 1919 года философский факультет Геттингенского университета согласился принять эту публикацию в качестве квалификационной диссертации (Habilitation), необходимой для получения должности приват-доцента. Уже через неделю Нётер сдала положенный устный экзамен, а 4 июня прочла для членов математического отделения факультета пробную лекцию. С осеннего семестра она приступила к чтению первого собственного курса.
После этого судьбы теоремы Нётер и ее автора решительно разошлись. Эмми Нётер больше никогда не занималась физикой, полностью переключившись на абстрактную алгебру. В этой быстро развивающейся области математики она получила фундаментальные, в полном смысле основополагающие результаты в алгебраической геометрии и теории колец. О них можно рассказывать очень долго, но это совсем другая история.
Спокойная и профессионально насыщенная жизнь Эмми Нётер в Геттингене оборвалась с приходом нацистов. В апреле 1933 года Министерство науки, искусства и просвещения аннулировало ее разрешение преподавать в Геттингенском университете (это же постановление лишило профессорских должностей Куранта и одного из создателей квантовой механики Макса Борна). Через несколько месяцев Эмми Нётер эмигрировала в США, где с помощью Фонда Рокфеллера получила гостевой контракт на преподавание в элитном женском колледже Брин-Мар в штате Пенсильвания. С февраля 1934 года она также стала читать еженедельные лекции в расположенном неподалеку Принстонском институте перспективных исследований (но не в Принстонском университете, куда женщины в те времена совершенно не допускались). Летом она ненадолго съездила в Геттинген, вопользовавшись новообретенным статусом иностранного ученого, а после этого навсегда оставила Германию. Но жить ей оставалось уже недолго. 14 апреля 1935 года Эмми Нётер скончалась из-за осложнений после хирургической операции — скорее всего, из-за тяжелой инфекции. В письме, опубликованном 5 мая на страницах «Нью-Йорк Таймс», Альберт Эйнштейн отметил: „in the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began“ («как считают наиболее компетентные современные математики, фрейлейн Нётер продемонстрировала в своем математическом творчестве столь высокую степень гениальности, какой с тех пор, как женщины обрели право на высшее образование, не удалось достичь никому»). А девятью днями ранее Герман Вейль в посвященной ее памяти лекции сказал: „she was a great mathematician, the greatest ... that her sex has ever produced, and a great woman“(«она была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком»).
При жизни и вскоре после смерти Эмми Нётер ей воздавали дань уважения практически лишь из-за алгебраических иследований. Как ни странно это сейчас выглядит, ее великую теорему практически никто не заметил. Конечно, эту работу высоко оценили и Гильберт, и представивший ее Королевскому обществу Клейн, но дальше этого не пошло. Даже Герман Вейль, который много занимался теоретической физикой, и, в частности, симметрией, не нашел нужным упомянуть ее в вышедшей в 1928 году фундаментальной монографии «Теория групп и квантовая механика». Кажется, единственный короткий, пересказ работы Эмми Нётер в классических математических трудах первой трети прошлого века можно найти в знаменитой книге Куранта и Гильберта «Методы математической физики», вышедшей первым изданием в 1924 году.
Причины такого забвения можно долго обсуждать, но это слишком далеко от основной темы. Как бы то ни было, вплоть до середины ХХ века физики почти не ссылались на статью Нётер, хотя ее результаты были не только достаточно известны, но и многократно использовались. В 50-е годы ситуация изменилась. Это прежде всего связано с проснувшимся интересом к роли симметрий в квантовых теориях поля, который последовал за опубликованной в 1954 году статьей сотрудников Брукхейвенской национальной лаборатории Чжэньнина Янга и Роберта Миллса. Соавторы «изобрели» названные их именами квантовые поля, основанные на калибровочной симметрии изотопического спина. В отличие от симметрии, которая обеспечивает сохранение электрического заряда, она была не глобальной, а локальной — в том смысле, что параметры групповых преобразований в их работе были функциями пространственных координат. Это и есть тип симметрии, который Эмми Нётер рассматривала во второй теореме.
Как известно, именно освоение локальных калибровочных симметрий позволило построить в 1970-е годы Стандартную модель элементарных частиц — наиболее серьезное достижение теоретической физики второй половины ХХ века. Но еще за пару десятилетий до ее создания теорему Нётер начали цитировать в физических статьях и монографиях. Сейчас ее работа признана высокой классикой науки.
Напоследок хотелось бы позволить читателю еще на одном примере почувствовать вкус применения симметрий, рассмотренных Эмми Нётер в ее второй теореме. Вернемся к калибровочной группе U(1), однако теперь сделаем поворот фазы переменной величиной, функцией пространственно-временных координат. В данном случае мы имеем дело не с глобальными, а с локальными калибровочными преобразованиями. Напомню, что это как раз тот тип групповых преобразований, которые описывает вторая теорема Нётер.
Лагранжиан Дирака сам по себе не инвариантен относительно локальной группы U(1) — следовательно, не инвариантно и действие. Однако инвариантность можно восстановить, если в лагранжиан добавить силовое поле, также подчиняющееся некоторой локальной симметрии. В результате такой операции в лагранжиане автоматически появляется дополнительный член, который описывает взаимодействие этого поля с электронами. Само поле представляет собой квантовую версию электромагнитного излучения. Так что требование локальной калибровочной симметрии типа U(1) для поля Дирака автоматически приводит к выводу, что электроны взаимодействуют посредством обмена квантами электромагнитного поля, то есть фотонами! А в качестве дополнительной премии получим еще одно утверждение — эти кванты обладают нулевой массой!
Этот вывод можно сформулировать иначе. Для существования локальной инвариантности относительно группы U(1) необходимо, чтобы сохраняющийся заряд был источником безмассового векторного поля (фотоны — векторные частицы, частицы со спином 1). Способность электрического заряда порождать фотоны является его уникальным свойством. Элементарные частицы обладают и другими сохраняющимися зарядами (например, барионным и лептонным). Однако, как следует из экспериментальных данных, эти заряды не генерируют безмассовые векторные поля — то есть, эксперимент не подтверждает существование барионных и лептонных аналогов фотонов. Этим зарядам соответствуют лишь глобальные, а не локальные симметрии типа U(1).
Этот пример отнюдь не единичен. Симметрии второй теоремы Нётер позволяют установливать фундаментальные соответствия между свойствами частиц и полей, с которыми эти частицы могут взаимодействовать. Опять-таки — куда как не слабо! Не случайно известный американский физик-теоретик профессор Калифорнийского университета Энтони Зи (Anthony Zee) в вышедшей в 2016 году монографии заметил, что, по всей вероятности, Эмми Нётер — наилучшая из женщин-физиков, когда либо живших на этом свете („arguably the deepest woman physicist who ever lived“). Столь высокая оценка — и всего лишь из-за единственной статьи!
И еще одна любопытная деталь. Идею калибровочной симметрии впервые предложил Вейль в статье , опубликованной в Берлине все в том же 1918 году. Так что мы вправе отметить столетний юбилей сразу двух крупнейших прорывов в теоретической физике! Поистине, боги милосердны к великим ученым.
Российский след
Эмми Нётер имела немало друзей и почитателей в советском математическом сообществе. В 1923 году в Геттинген из Москвы приезжали блестящие молодые топологи Павел Александров и Павел Урысон, через которых у Нётер установились связи с российскими коллегами. Зимой 1928–29 годов она читала курс абстрактной алгебры в МГУ и руководила семинаром по алгебраической геометрии в Коммунистической академии. Когда Нётер изгнали из Геттингена, Александров пытался добиться для нее кафедры алгебры в МГУ, но не получил поддержки Наркомата просвещения. Случись иначе, она могла бы создать в Москве школу алгебраистов мирового уровня. Но судьба могла распорядиться и по-другому. Ее младший брат Фриц, хороший математик-прикладник, уехал в СССР, где стал профессором Томского университета. В конце 1937 года его арестовали как немецкого шпиона и 10 сентября 1941 года расстреляли в Орле.
Однако в каком-то смысле связи Эмми Нётер с Россией восходят к намного более ранним временам. В Брин-Мар ее пригласила декан математического факультета Анна Пелл Уилер (Anna Johnson Pell Wheeler), которая в свое время училась в Геттингене. Об этой женщине стоит рассказать подробней, причем главная фишка будет в конце.
Урожденная Анна Джонсон, дочь шведских эмигрантов, принадлежала к тому же поколению ученых, что и Эмми Нётер, и практически была ее ровесницей. Она родилась в мае 1883 года в штате Айова. В 1899 году была принята в университет Южной Дакоты, где стала одной из лучших студенток. Анна училась на отлично по немецкому, французскому, латыни, химии, физике и математике, которая превратилась в ее главное увлечение. Девушкой заинтересовался профессор математики Александр Пелл (), который угадал в ней замечательные способности к абстрактному мышлению и уговорил продолжить математическое образование. В 1903 году Анна перевелась в университет своего родного штата Айова и через год защитила там магистерскую диссертацию в области приложения теории групп к линейным дифференциальным уравнениям. За эту работу она получила стипендию в знаменитом женском колледже Радклифф (Radcliffe College), и в 1905 году заработала еще одну магистерскую степень. Уже тогда ее считали одной из наиболее перспективных женщин-математиков Америки. В 1906 году Анна выиграла конкурс на получение престижной стипендии имени Алисы Фримен Палмер, предназначенной для выпускниц американских колледжей, пожелавших продолжить образование за рубежом. Эта позволило провести год в Геттингенском университете, где она училась у тех же самых звезд немецкой науки, что и (двумя годами ранее) Эмми Нётер. Ее главным наставником стал Гильберт, который тогда занимался интегральными уравнениями и заразил этим увлечением свою американскую ученицу. Впоследствии она работала в этой области и в смежной сфере функционального анализа.
Александр Пелл постоянно переписывался с Анной, и в конце концов сделал ей предложение. Летом 1907 года он приехал в Геттинген, и они поженились. Там Пелл познакомился с университетскими светилами, в кругу которых вращалась его невеста. Супруги вернулись в университет Южной Дакоты, где Анна стала читать курсы дифференциальных уравнений и теории функций. Большую часть 1908 года она снова провела в Геттингене, после чего поступила в аспирантуру Чикагского университета. В 1910 году она получила докторскую степень и в 1911 году приступила к преподаванию математики в одном из местных колледжей.
К этому времени Пелл тоже оказался в Чикаго, где получил место в Институте Армора (сейчас — Технологический институт Иллинойса). В 1911 году после перенесенного инсульта он перестал преподавать и передал свои лекции Анне. Она замещала мужа вплоть до 1913 года, когда он формально вышел в отставку. Тем не менее, Пелл продолжал писать статьи и принимать участие в конференциях Американского математического общества (последний раз — в 1919 году), а во время учебного года 1915–16 годов даже прочел семестровый курс в Северо-Западном университете.
В 1918 году Анну Пелл пригласили в Брин-Мар, где она стала профессором, а впоследствии — и деканом математического отделения. К этому времени она прочно вошла в немногочисленную плеяду женщин-математиков с международной репутацией. Но Пелл до этого не дожил: он скончался 26 января 1921 года. В 1925 году Анна вышла замуж за своего коллегу профессора-латиниста Артура Уилера, но в 1932 году опять овдовела. В 1948 году она ушла на пенсию, однако не перестала следить за математической литературой и посещать семинары. Умерла она в марте 1966 года в возрасте 82 лет. Ее похоронили на баптистском кладбище рядом с могилой первого мужа. Еще при жизни из собственных средств Анна учредила стипендию имени Александра Пелла для математически одаренных студентов университета Южной Дакоты. Этот фонд существует и по сей день.
Но причем же здесь Россия? Дело в том, что Пелл не всегда был Пеллом. Он родился в 1857 году в Москве, и звали его тогда Сергеем Петровичем Дегаевым. Он вошел в историю русского революционного подполья как величайший предатель и провокатор, сдавший охранке Веру Фигнер и других членов «Народной воли». Позднее, чтобы избежать смерти от руки бывших товарищей, он помог им в убийстве своего куратора — жандармского подполковника Георгия Порфирьевича Судейкина (эта история подробно описана в романе Юрия Давыдова ). Оставшиеся на свободе народовольцы позволили Дегаеву уехать в Америку, где он и стал Пеллом. В Штатах он после многих злоключений получил математическое образование, закончил аспирантуру в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в конце концов получил кафедру в Южной Дакоте. Так что демону истории для устройства Эмми Нётер в США было нужно, чтобы злой гений «Народной воли» превратился в почтенного американского профессора, который заметил и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции. Вот как оно бывает!
Молодая Эмми Нётер (до 1910 года). Фото с сайта en.wikipedia.org