Квантовая механика М.Б.Менский

Июнь 2000 г.    Том 170. № б

УСПЕХИ  ФИЗИЧЕСКИХ  НАУК

ОБЗОРЫ АКТУАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ

 

Квантовая механика:

новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов

 

М.Б.Менский

 

Представлен обзор некоторых концептуальных проблем квантовой механики, их современного статуса и вытекающего из них развития теории. Анализируются специфика запутанных (entangled) состояний квантовой системы, новые эксперименты, направленные на исследование таких состояний, и основанные на них новые приложения квантовой механики (квантовая информация). Обсуждается широко известный парадокс "шрёдингеровского кота" (ненаблюдаемость предсказываемых квантовой механикой суперпози­ций макроскопически различимых состояний) и показывается, что явление декогеренции (возникающее при измерении в квантовой системе, когда информация о ее состоянии в той или иной форме записывается в окружающей среде) приводит к неразличимости суперпозиции и смеси и тем самым позволяет преодолеть парадоксальность квантовой теории в рамках теории открытых систем. Остающиеся концептуальные трудности лежат по существу вне физики, однако они активно исследуются в литературе и привели к чрезвычайно интересным новым интерпретациям квантовой механики. В этой связи обсуждается мнение (высказанное, например, Вигнером) о необходимости включить сознание наблюдателя в квантовую тео­рию измерений. Предлагается гипотеза, которая позволила бы описать функцию сознания в терминах квантовых измерений.

 

Quantum mechanics: new experiments, new applications, new formulations

 

M.B. Menskii

 

Some of the quantum mechanical conceptual problems, their current status, and related theoretical developments are reviewed. The characteristics of the entangled quantum states are analyzed, and new experiments on and quantum information applications of such states are discussed. The well-known paradox of the Schrodinger cat (the impossibility of observing superpositions of macroscopically distinct states that are predicted by quantum mechanics) is discussed. It is shown that decoherence (arising when a quantum system is measured in such a way that some information about its state is recorded in its environment) prevents distinguishing between a superposition and the corresponding mixture. This overcomes the difficulties associated with the paradoxical nature of quantum measurement provided we remain within the framework of the theory of open systems. Other conceptual difficulties, while actually lying outside of physics, are now the subject of much research and have already led to new interesting interpretations of quantum mechanics. The suggestion of Wigner and others that the observer's consciousness be included in the theory of quantum measurement is discussed in this context. A hypothesis is put forward which might enable the functioning of consciousness to be described in quantum measurement terms.

 

PACS numbers: 03.65.Bz Bibliography — 55 references

 

От редакционной коллегии. Создание теории относительности и квантовой механики глубоко изменило физику и, естествен­но, затронуло фундаментальные философские (мировоззрен­ческие, гносеологические) проблемы. В отношении теории относительности (не говоря о тесно связанной с ней космоло­гии и, в какой-то мере, о черных дырах) споры об основах практически уже не ведутся. Напротив, квантовая механика, ее методологические основы, теория измерений и некоторые другие проблемы широко обсуждаются в мировой литерату­ре до сих пор. Особенно это имеет место в связи с развитием экспериментальной техники, позволившей произвести ряд тончайших опытов (упомянем хотя бы квантовую телепортацию).

В СССР в свое время основы новой физики также, конечно, широко дискутировались, но, к сожалению, такое обсуждение должно было проводиться с учетом идеологических ограниче­ний. Конкретно, обязательно нужно было по существу или хотя бы по форме следовать положениям философии, назы­вавшейся диалектическим материализмом. В результате сво­бодная дискуссия стала невозможна, и вопросы методологии физики на современном уровне практически в нашей литера­туре перестали затрагиваться. Чувствуется это и до сих пор, несмотря на то, что в настоящее время в России существует полная свобода для подлинно научной дискуссии по методо­логическим и, в частности, гносеологическим вопросам. При­мером такого научного и в то же время не ограниченного какими-либо догмами обсуждения основ квантовой механики может служить публикуемая статья М.Б. Менского. Мы надеемся, что она послужит поводом и для других авторов свободно высказывать свои взгляды в виде статей и писем в редакцию без ограничений, обусловленных какими-то требо­ваниями философского характера. Но, разумеется, речь не может идти о спекуляциях, игнорирующих общепризнанное содержание современной физики и, в частности, квантовой механики.

 

Содержание

1. Введение (632).

2. Запутанные (entangled) состояния (633).

2.1. Неклассичность ЭПР-пары.

2.2. Приложения: квантовая информация.

2.3. Квантовая механика на новой стадии.

3. "Шрёдингеровский кот" (637).

3.1. Суперпозиция живого и мертвого кота.

3.2. "Усиление" квантовой суперпозиции.

3.3. Декогеренция окружением.

4. Расширение теории измерений (641).

4.1. Решает ли декогерещия проблему измерения?

4.2. Попытки углубить теорию.

4.3. Квантовая механика и сознание.

4.4. Выбор альтернативы — это и есть работа сознания?

4.5. Квантовый мир и классический мир.

5. Заключение (646). Список литературы (647).

 

 

М.Б. Менский. Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Ленинский просп. 53, Российская Федерация

P.N. Lebedev Physics Institute, Russian Academy of Sciences Leninskii prosp. 53, 117924 Moscow, Russian Federation

E-mail: mensky@sci.lebedev.ru

 

Статья поступила 12 апреля 2000 г., после доработки 19 апреля 2000 г.

Received 12 April 2000, revised 19 April 2000

 

 

© М.Б. Менский, 2000

 

 

 

 

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Квантовая механика давно стала привычным рабочим инструментом для исследователей в самых разных обла­стях физики, однако концептуальные вопросы, которые впервые были поставлены еще в пору ее создания, до сих пор нельзя считать решенными. Общеизвестными при­мерами являются так называемый парадокс Эйн­штейна - Подольского - Розена (ЭПР) и парадокс "шрёдингеровского кота". Нерешенные концептуальные вопросы квантовой механики часто объединяют под именем "проблемы измерения". Они не имеют, подобно другим проблемам в физике, вполне ясной и однознач­ной формулировки и порой разными авторами препод­носятся по-разному. Более того, большое число вполне квалифицированных и опытных специалистов считает, что никаких концептуальных проблем в квантовой механике вообще не существует. Те, кто такие проблемы обсуждает, часто встречают не только непонимание, но и осуждение. Типичная оценка такого рода обсуждений состоит в замечании, что это не физика, а философия, и при этом слово "философия" иногда произносится несколько свысока.

В последние годы, однако, отношение к концептуаль­ным проблемам квантовой механики быстро меняется. Несмотря на то, что они интенсивно обсуждались в период становления квантовой механики (см., напри­мер, перепечатки классических статей в [1]) и во все времена систематически освещались в учебниках (например, [2-5]), этим проблемам в настоящее время посвящена обширная литература. При этом они обсуж­даются гораздо более детально и конкретно, чем раньше, и обсуждение их постепенно становится вполне респекта­бельным занятием (см., например, [6-15]). Более того, старые, известные со времен отцов-основателей вопросы получают новые формулировки, для ответа на них ставятся специальные эксперименты и в ходе их обсужде­ния возникают новые приложения квантовой механики. В этой статье мы попытаемся проиллюстрировать современное положение дел, нисколько не претендуя на полноту и не скрывая известной субъективности излагае­мых точек зрения.

Оговоримся сразу: новые приложения, объединяемые термином "квантовая информация", возникли не столь­ко при исследовании концептуальных проблем кван­товой механики, сколько при анализе специфики кван­товой теории по сравнению с классической. Конечно, анализ квантовой специфики является необходимой предварительной стадией при изучении концептуаль­ным проблем. Однако новые приложения появляются на том уровне анализа, на котором можно еще не говорить о концептуальных проблемах или парадоксах. При желании вполне можно сказать, что работа над новыми экспериментами и новыми приложениями — это настоящая и притом очень интересная физика, тогда как парадоксы квантовой механики — всего лишь философская (концептуальная, метафизическая) над­стройка над ней.

Одна из целей данной статьи — показать, что так оно и есть. Точнее, мы попытаемся обосновать точку зрения, что существует формулировка квантовой механики, в которой не возникает никаких парадоксов и в рамках которой можно ответить на все вопросы, которые обычно задают физики. Парадоксы возникают лишь тогда, когда исследователь не удовлетворяется этим "физическим" уровнем теории, когда он ставит такие вопросы, которые в физике ставить не принято, другими словами, — когда он берет на себя смелость попытаться выйти за пределы физики. Вполне оправданной является точка зрения, что такая попытка со стороны физика не имеет смысла.

Те, кто этой точки зрения придерживается, не заслу­живают осуждения. Более того, они по-своему правы, потому что для конструктивной работы в физике необ­ходимо ограничить себя точно сформулированными, чисто "физическими" задачами. Однако для некоторых физиков оказывается необходимым иногда попытаться выйти за рамки собственно физической методологии и поставить более широкий круг вопросов. Вот тогда возникают квантовые парадоксы. Оказывается, что попытки разрешить эти парадоксы могут приводить к удивительным новым концепциям, которые по меньшей мере весьма любопытны. Нельзя сказать, что на этом пути достигнут существенный прогресс. Однако красота и смелость возникающей при этом картины квантового мира невольно заставляют надеяться, что этот путь позволит в конце концов вывести теорию на качественно новый уровень. Возможная конкретизация этих надежд, которую мы будем защищать, состоит в том, что новая теория может включать в себя (а может быть, и объяс­нит) феномен сознания, который до сих пор во многом остается таинственным.

Итак, в следующих разделах мы проанализируем два основных специфически квантовых понятия: "запутан­ные состояния" и "шрёдингеровский кот". Большая часть статьи (разделы 2, 3) будет посвящена анализу специфики квантовой механики (по сравнению с класси­ческой), заключенной в этих понятиях, и появляющимся в связи с этим новым физическим ситуациям. Мы обсудим схемы "квантовой информации", основанные на запутанных состояниях, и явление декогеренции¹, приводящее к ненаблюдаемости макроскопических "шрёдингеровских котов" (суперпозиций макроскопиче­ски различимых состояний).

В разделе 4 будут кратко обсуждены парадоксы и концептуальные вопросы квантовой механики, которые не решаются в рамках декогеренции. Попробуем при этом выяснить:

— Нужно ли задавать эти "вечные" вопросы?

— Можно ли ответить на них в рамках физики?

— Имеются ли ответы на них вне физики?

Выводы, к которым мы придем, не новы, но до сих пор не являются общепризнанными:

— С практической точки зрения эти вопросы не нужны.

— Их нельзя решить (и не нужно ставить) в рамках физики.

— Если решение существует, то его формулировка так или иначе должна включать такой "нефизический" элемент, как сознание наблюдателя.

Наконец, мы сформулируем и попытаемся кратко обо­сновать гипотезу, которая, быть может, объясняет фено­мен сознания на основе квантовой теории измерений.

 

 

 

2. ЗАПУТАННЫЕ (ENTANGLED) СОСТОЯНИЯ

 

Квантовая корреляция или запутанные (entangled) состояния (иначе, ЭПР-состояния) могут возникать в такой системе, которая состоит из двух (или более) взаимодействующих подсистем. Никакого запутывания нет, если система находится в состоянии вида ïYñ = ïyñïjñ, где ïyñ и ïjñ — состояния соответствующих подсистем. Такое состояние называется факторизованным. Однако, даже если вначале состояние факторизовано, то после взаимодействия подсистем друг с другом оно может стать запутанным. Простейшее запутанное состояние имеет вид²

 

ïYñ = (1/Ö2) ´ (ïy₁ñïj₁ñ + ïy₂ñïj₂ñ)                                       (1)

 

Очевидно, что если полная система находится в состоя­нии (1), то состояние каждой из подсистем не является определенным. Существует лишь корреляция, которую можно охарактеризовать так: если первая система нахо­дится в состоянии ïy_iñ (i = 1,2), то вторая — в состоянии ïj_iñ.

 

2.1. Неклассичность ЭПР-пары

Возможность существования запутанных состояний при­водит к некоторым чертам квантовых систем, которым нет аналога в классической физике и которые поэтому кажутся весьма странными с точки зрения интуиции, воспитанной на анализе классических систем. Такого рода ситуации были проанализированы в работе Эйн­штейна, Подольского и Розена [16]. Оказалось, что понятие "элемент реальности" в том виде, в каком оно употребляется в классической физике, неприменимо в квантовой теории. Это противоречие между квантовоме-ханическими предсказаниями и классической интуицией было названо парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР).

Этот парадокс был в центре знаменитой дискуссии между Эйнштейном и Бором (см. [17]) и в дальнейшем очень много обсуждался в литературе. В 1964 г. Джон Белл сумел придать этому парадоксу простую и нагляд­ную форму, выведя так называемые неравенства Белла (см. [6]), роль которых мы охарактеризуем качественно.

Проще всего провести этот анализ на примере распада частицы спина 0 на две частицы спинов 1/2. Состояние двух частиц после такого распада имеет вид³

 

ïYñ = (1/Ö2) ´ (ï­ñ₁ï¯ñ₂ + ï­ñ₁ï¯ñ₂)                                   (2)

 

где ï­ñ_i означает состояние i-й частицы со спином, направленным вверх относительно выделенной оси (скажем, z), а ï¯ñ_i — состояние i-й частицы со спином вниз. Состояние (2) является, очевидно, запутанным состоянием двух частиц, причем направление спина каждой из частиц не определено, но между направлениями спинов обеих частиц имеется квантовая корреля­ция.

Наличие корреляции приводит к тому, что измерения проекций спинов двух частиц оказываются коррелиро­ванными даже после того, как частицы удалятся друг от друга на любое расстояние. Если измерение проекции спина первой частицы показывает, что ее спин направлен вверх, то измерение проекции спина второй частицы (расположенной в этот момент как угодно далеко) заведомо покажет, что спин направлен вниз, и наоборот.

В этом еще нет ничего необычного, специфически квантового. В классической физике вполне может су­ществовать такого же рода корреляция между результа­тами измерений двух объектов. Пусть, например, в непрозрачном ящике лежат два шара — один белый, а другой черный, потом в ящик вводится перегородка, разделяющая шары, и половинки ящика, каждая из которых содержит один из шаров, разносятся на далекое расстояние. Ясно, что результаты, которые получаются при вскрытии ящиков, коррелированны: если в одном из них оказался белый шар, то в другом заведомо окажется черный, и наоборот.

Квантовая специфика проявляется в том случае, если измеряются проекции спинов двух частиц на различные оси. Скажем, измеряется проекция спина первой частицы на ось z и проекция спина второй частицы на ось, наклоненную по отношению к z. Если в первом случае оказалось, что спин направлен вверх (в положительном направлении оси z), то результат второго измерения нельзя предсказать точно, но по обычным правилам квантовой механики предсказываются вероятности двух альтернативных результатов измерения. И оказывается, что результаты квантовомеханического расчета несовме­стимы с предположением, что наблюдаемые свойства существовали уже до наблюдения.

Белл ввел понятие "объективной локальной теории", в которой свойства системы (в данном случае — свойства частицы) существуют объективно независимо от измере­ния, а также имеют место некоторые другие положения, характерные для классической теории. Точнее, в объек­тивной локальной теории:

— каждая частица характеризуется некоторыми пере­менными (которые могут соответствовать, например, волновой функции), возможно коррелированными для двух частиц;

— результаты измерения одной частицы не зависят от того, производится ли измерение другой частицы и если да, то какой результат дает это измерение;

— характеристики статистических ансамблей (и, следовательно, статистика измерения) зависят лишь от условий в более ранние моменты времени: невозможна "ретроспективная причинность".

Теорема Белла [6], доказанная в 1964 г., утверждает, что объективная локальная теория и квантовая механика дают разные предсказания для статистики результатов измерений. Точнее, из аксиом объективной локальной теории следуют некоторые неравенства (неравенства Белла) для вероятностей различных результатов измере­ний, и квантовая механика предсказывает, что эти неравенства должны нарушаться, если для двух частиц измеряются проекции спина на различные оси.

После того, как теорема Белла была сформулиро­вана, были предприняты усилия для экспериментальной проверки неравенства Белла, и в 1980 г. в опытах Аспекта было экспериментально установлено, что неравенство нарушается (см. [18])⁴. Такой результат совместим с квантовой механикой и несовместим с объективной локальной теорией. Тем самым экспериментально дока­зано, что микроскопическим системам нельзя (во всяком случае, не всегда можно) приписывать состояния как объективно существующие и независимые от проводи­мых измерений. Впоследствии были реализованы много­численные корреляционные эксперименты типа тех, что провел Аспект.

Опыты Аспекта, и вообще измерения над ЭПР-парой, интересны еще и тем, что они демонстрируют так называемую "квантовую нелокальность": измерение, проведенное над одной из частиц, определяет результат измерения над второй частицей, которое проводится в тот же момент времени в другой точке пространства. Два события (измерение первой частицы и измерение второй частицы) могут быть разделены пространственно-по­добным интервалом и, тем не менее, одно из них предопределяет второе. Чтобы сделать этот факт более убедительным, опыты, подобные опытам Аспекта, про­водят при все большем пространственном разделении двух частиц. Недавно группой Гизина (N. Gisin) в Женеве был проведен корреляционный опыт [19] при простран­ственном разделении ЭПР-пары в 10 км. Результат опыта оказался тем же самым.

На первый взгляд кажется, что в опытах такого типа нарушается причинность. Это, однако, неверно, потому что отношение между двумя событиями (измерением первой и измерением второй частицы) — это не отноше­ние причинно-следственной связи, а отношение корреля­ции. Хотя результаты измерений двух частиц скоррели-рованы друг с другом, но статистика измерений одной частицы не содержит никаких следов этой корреляции:

проекция спина (на любую ось) при каждом измерении оказывается положительной с вероятностью 1/2 и отри­цательной с той же вероятностью. Экспериментатор не может управлять результатами измерения, а, следова­тельно, не может послать сигнал в точку, где располо­жена вторая частица. Сверхсветовая передача сигнала невозможна.

Невозможность передачи сверхсветового сигнала означает, что "квантовая нелокальность" имеет специ­фическую, корреляционную природу. Нелокальность результатов измерения имеет место, если имеется ЭПР-пара (две частицы в запутанном состоянии). Однако процесс создания такой пары является локальным. То, что процесс подготовки квантовой нелокальности сам по себе является локальным, будет видно в разделе 2.2.1 при описании квантовой телепортации. Еще одной иллю­страцией может служить рассмотрение в [20] ЭПР-пары спиновых частиц в гравитационном поле, поворачиваю­щем спин частиц. В этом случае не существует простран­ственного направления (на которое будет проектиро­ваться спин), определенного во всем пространстве-вре­мени, глобально. Для корректного описания корреляции следует ввести пространственные направления в точке, где расположена одна из частиц, а направления в точке локализации второй частицы определить параллельным переносом вдоль мировых линий частиц^{корреляция частично "размывается", поскольку мировые линии квантовых частиц определены лишь приближенно.' href="#s5">5}.

В опытах типа опыта Аспекта объективная локальная теория опровергается наблюдениями, в которых изме­ряется статистика результатов измерений над ЭПР-парой. Гринбергер, Хорн и Цайлингер предложили более сложный корреляционный опыт с тремя фото­нами (см. [21]), в котором результаты измерения, пред­сказанные объективной локальной теорией, более ради­кально отличаются от того, что предсказывает кван­товая механика: для некоторого измерения объективная локальная теория предсказывает положительный ре­зультат, а квантовая механика — отрицательный (и последнее подтверждается).

 

2.2. Приложения: квантовая информация

Свойства запутанных состояний и некоторые другие характерные черты квантовой механики удалось исполь­зовать для того, чтобы разработать новые практические приложения квантовой механики, объединяемые под именем квантовой информации [22-25]. Эти приложе­ния развиваются в трех главных направлениях:

— квантовая телепортация,

— квантовая криптография,

— квантовый компьютер.

Основные результаты, полученные в области квантовой информации, формулируются в терминах кубита (qubit), т.е. системы, которая может находиться в одном из двух состояний, скажем, ï0ñ и ï1ñ или в суперпозиции этих состояний⁶. Два или более кубитов могут находиться в запутанном состоянии.

 

2.2.1. Квантовая телепортация. Квантовая телепортация ставит своей целью передать из одной точки в другую некоторое квантовое состояние, и это делается с помо­щью ЭПР-пары или, другими словами, за счет квантовой корреляции. До сих пор рассматривалась (теоретически и экспериментально) задача о телепортации лишь одного кубита.

Пусть наблюдатель А (Alice) имеет кубит, находя­щийся в состоянии

 

ïyñ_A = aï0ñ_A + bï1ñ_A,

 

причем параметры a и b ему неизвестны. Задача состоит в том, чтобы кубит, имеющийся в распоряжении удален­ного наблюдателя В (Bob), перевести в такое же состоя­ние:

 

ïyñ_B = aï0ñ_B + bï1ñ_B,

 

Для этого кубит В должен быть предварительно опреде­ленным образом скоррелирован, т.е. включен в ЭПР-пару. Например, можно в точке В создать ЭПР-пару из двух кубитов, С и В, а затем перенести кубит С в точку, где находится наблюдатель А (вместо этого ЭПР-пару из двух кубитов можно создать в любой точке, а затем разнести спаренные кубиты в точки, где находятся наблюдатели А и В). Теперь наблюдатель В имеет кубит В, и задача сводится лишь к тому, чтобы перевести его в нужное состояние. Это делается с помощью следующих трех шагов:

1. Производится некоторое специальным образом устроенное измерение системы, состоящей из кубитов А и С. Такое измерение может иметь 4 различных резуль­тата.

2. Результат измерения пересылается (по обычному, т.е. классическому каналу связи) в точку В.

3. Состояние кубита В (возникшее после измерения, проведенного в точке А) подвергается одному из четырех преобразований в зависимости от того, какой результат дало измерение.

Легко проверить, что телепортация по такой схеме возможна. Для этого достаточно выбрать состояние ЭПР-пары вида

 

ïFñ_СВ = (1/Ö2) ´ (ï01ñ_СВ - ï10ñ_СВ) = (1/Ö2) ´ (ï0ñ_С ï1ñ_В - ï1ñ_С ï0ñ_В)

 

и на первом шаге произвести над кубитами А и С измерение, описываемое проекторами⁷

 

P₁ = (1/2) ´ (ï01ñ_AC - ï10ñ_AC) ´ (_AC á01ï - _AC á10ï)

P₂ = (1/2) ´ (ï01ñ_AC + ï10ñ_AC) ´ (_AC á01ï + _AC á10ï)

P₃ = (1/2) ´ (ï00ñ_AC - ï11ñ_AC) ´ (_AC á00ï - _AC á11ï)

P₄ = (1/2) ´ (ï00ñ_AC + ï11ñ_AC) ´ (_AC á00ï + _AC á11ï)

 

При таком выборе ЭПР-пары и измерения корректирую­щие преобразования U_i выполняемые на третьем шаге, следует выбрать в виде

 

U₁ = 1,                               U₂ = ï0ñá0ï - ï1ñá1ï,

U₃ = ï0ñá1ï + ï1ñá0ï,            U₄ = i (ï0ñá1ï - ï1ñá0ï).

 

Если измерение дает i-й результат, то образующееся после измерения состояние есть (с точностью до норми­ровки) P_iïY_iñ_AïFñ_CB. При этом, как можно убедиться, кубит В оказывается в определенном состоянии ïy_iñ_B, которое определяется коэффициентами a и b и номером i. Это состояние тождественно исходному состоянию ïy_iñ_A лишь в случае, если i = 1. Однако в случае произвольного i мы знаем, как получить требуемое состояние кубита В:

следует возникшее после измерения состояние ïy_iñ_B подвергнуть преобразованию U_i. После этого кубит В оказывается в нужном состоянии:

 

U_iïY_iñ_B = ïYñ_B.

 

Заметим, что кубит А после этих операций вообще не находится в определенном состоянии. Вместо этого образуется запутанное состояние кубитов А и С.

Таким образом, при квантовой телепортации про­извольное (и заранее не известное) состояние кубита А разрушается, однако возникает идентичное состояние кубита В в другой точке. Инструментом телепортации является ЭПР-пара с компонентами в точках А и В, которая по существу образует квантовую корреляцион­ную линию. Кроме этой заранее подготовленной корре­ляционной линии требуется еще обычный канал связи между точками А и В, по которому передается информа­ция о результате измерения кубитов А и С.

Телепортация состоит из трех этапов. На первом (подготовительном) этапе создается корреляционная линия (ЭПР-пара). На втором этапе производится изме­рение кубитов А и С, при этом "квантовая часть" информации о состоянии ïyñ мгновенно передается из точки А в точку В за счет квантовой корреляции. Однако для восстановления этого состояния в точке В требуется еще классическая информация, передача которой проис­ходит не быстрее, чем со скоростью света.

Правда, в случае, если результат измерения равен i = 1, состояние ïyñ телепортируется мгновенно, в момент измерения, и никакого дополнительного преоб­разования не требуется. Однако экспериментатор, нахо­дящийся в точке В, не может знать, какой из четырех альтернативных результатов измерения в точке А полу­чен, поэтому каждый раз в момент измерения остается неизвестным, произошла ли при телепортации деформа­ция состояния, которая требует корректирующего пре­образования. В итоге мы вынуждены заключить, что сверхсветовая телепортация невозможна даже при зара­нее подготовленной корреляционной линии.

Квантовая телепортация была экспериментально реализована в университете Инсбрука [26] с использова­нием поляризованных фотонов в качестве кубитов. Более подробно о телепортации см. в обзоре [25] ⁸.

 

2.2.2. Квантовая криптография. Мы видели, что при телепортации квантового состояния из одной точки в другую состояние кубита в исходной точке разрушается. Это одно из проявлений общей теоремы о невозможно­сти "клонирования" квантового состояния. Эта теорема является следствием линейности квантовой механики. Любой процесс в квантовой механике описывается унитарным линейным оператором. Клонирование, если бы оно было возможно, описывалось бы преобразова­нием

 

UïY’ñïAñ = ïY’ñ₁ïY’ñ₂ïA’ñ,

 

где через ïAñ, ïA’ñ обозначены состояния аппарата до и после клонирования. Записав такого рода уравнения для двух различных состояний системы ïY’ñ, ïY’’ñ и восполь­зовавшись линейностью оператора U, мы получим для суперпозиции этих состояний

 

U ´ (aïY’ñ + bïY’’ñ) ´ ïAñ = aïY’ñ₁ïY’ñ₂ïA’ñ + bïY’’ñ₂ïY’’ñ₂ïA’’ñ,

 

Очевидно, что суперпозиция двух (нетождественных) со­стояний ïY’ñ, ïY’’ñ не клонируется: даже при ïA’ñ = ïA’’ñ состояние aïY’ñ + bïY’’ñ переходит в aïY’ñ₁ïY’ñ₂ + bïY’’ñ₁ïY’’ñ₂ отлично от

 

(aïY’ñ₁ + bïY’’ñ₁) ´ (aïY’ñ₂ + bïY’’ñ₂).

 

Невозможность клонирования квантового состояния лежит в основе квантовой криптографии. Квантовое криптографическое устройство пересылает вдоль волно­вода один за другим множество фотонов, причем в поляризациях последовательных фотонов закодирована некоторая информация. Если бы клонирование было возможно, то можно было бы подключиться к волно­воду и переписать информацию (скажем, создать точно такую же последовательность фотонов), не нарушая состояния тех фотонов, которые движутся в волноводе. Но ввиду невозможности клонирования каждая попытка получить информацию (подслушать пересылаемое сооб­щение) с необходимостью приводит к искажению состоя­ний фотонов, движущихся в волноводе. Разработаны специальные процедуры обработки информации, кото­рые позволяют по этим искажениям обнаружить факт подслушивания с любой желаемой вероятностью.

Таким образом, специфика квантовой механики позволяет построить сколь угодно надежные по отноше­нию к прослушиванию секретные линии связи (подроб­нее см. [25]).

 

2.2.3. Квантовый компьютер. Идея квантового компью­тера [22, 24] основана на том, что в квантовой механике возможны суперпозиции состояний. Квантовая система с двумя базисными состояниями (кубит) позволяет зако­дировать в этих состояниях ï0ñ, ï1ñ числа 0 и 1. Следова­тельно, цепочка из n кубитов, каждый из которых находится в одном из этих состояний, позволяет закоди­ровать n-значное двоичное число. Но если каждый из кубитов в цепочке находится в суперпозиции базисных состояний (ï0ñ + ï1ñ)/Ö2, то состояние всей цепочки кубитов можно описать как суперпозицию из 2ⁿ двоич­ных чисел длины n. Если теперь совершать с такой цепочкой кубитов последовательность унитарных преоб­разований, то будет реализована некоторая процедура обработки информации (записанной в двоичных числах), причем параллельно будут обрабатываться все 2ⁿ вариантов входных данных.

Таким образом, реализуется "квантовый паралле­лизм", который позволяет сделать некоторые вычисле­ния в огромной степени более эффективными, чем это возможно с помощью классического компьютера. Задачи, которые могут быть решены на классическом компьютере за экспоненциально большое (т.е. на прак­тике бесконечное) время, на квантовом компьютере могут решаться за полиномиально большое время (которое для ряда практически важных задач вполне достижимо)⁹.

Согласно сказанному состояние квантового компью­тера представляет собой сумму огромного числа слагае­мых, каждое из которых есть произведение состояний вида ï0ñ или ï1ñ (сомножители в этом произведении описывают возможные состояния отдельных кубитов в длинной цепочке). Следовательно, состояние квантового компьютера — не что иное как очень сложное запутанное состояние. После серии унитарных преобразований, преобразующих это состояние в соответствии с постав­ленной задачей, производится измерение полученного состояния. Результат этого измерения и есть цель вычи­сления. Таким образом, работа квантового компьютера основана на операциях со сложными запутанными состояниями цепочки кубитов.

С помощью такого рода операций можно, например, найти период периодической функции или разложить на множители очень большое число. Последняя задача представляет особую ценность, поскольку ее решение позволило бы легко расшифровывать коды, применяе­мые на практике. Расшифровка таких кодов с помощью классических компьютеров хотя и возможна в принципе, но требует такого долгого времени, что практически невыполнима.

Конечно, на пути построения квантовых компьюте­ров, работающих с числами достаточной длины, встре­чаются огромные трудности. Прежде всего они связаны с тем, что требуется обеспечить квантовую когерентность огромного числа кубитов (в качестве которых могут быть использованы различные физические системы, например, атомы). Для этого необходимо каким-то образом предотвратить (сделать чрезвычайно малыми) любые неконтролируемые взаимодействия кубитов друг с другом и с окружающей средой. Как при взаимодей­ствии происходит потеря когерентности (декогеренция), мы увидим в разделе 3.3.

Трудности, вытекающие из этой задачи, настолько велики, что могут стать непреодолимыми. Например, не исключено, что в конце концов для реализации кван­товых вычислений необходимо сделать неконтролируе­мые взаимодействия экспоненциально малыми, что вряд ли возможно. Однако пока реализация квантовых ком­пьютеров считается в принципе возможной, и на решение этой проблемы направлены большие ресурсы. Несколько подробнее можно познакомиться с идеей квантового компьютера в статье [25].

 

2.3. Квантовая механика на новой стадии

Заканчивая раздел о запутанных состояниях, сделаем еще ряд замечаний. Специфические черты квантовой механики, связанные с запутанными состояниями, впер­вые были сформулированы в связи с ЭПР-парадоксом, однако в настоящее время они не воспринимаются как парадоксальные. Для людей, профессионально работаю­щих с квантовомеханическим формализмом (т.е. для большинства физиков) нет ничего парадоксального ни в ЭПР-парах, ни даже в очень сложных запутанных состояниях с большим числом слагаемых и большим числом факторов в каждом слагаемом. Результаты любых опытов с такими состояниями, в принципе, легко просчитываются (хотя технические трудности при рас­чете сложных запутанных состояний, конечно, возможны).

То, что ощущение парадоксальности исчезло, объяс­няется тем, что специфика запутанных состояний, извест­ная со времени становления квантовой механики, в наше время исследована более детально. В частности, это проявилось в том, что некоторые специфические черты были сформулированы в виде простых и очень нагляд­ных утверждений или теорем, таких, как невозможность клонирования состояний. С этой детализацией связаны и новые приложения квантовой механики — квантовая информация.

Проходивший в последние два десятилетия процесс активного и детального изучения особенностей кван-товомеханических состояний и квантовых измерений связан, разумеется, с появлением новых эксперименталь­ных возможностей, с огромной чувствительностью со­временной аппаратуры. Увеличение чувствительности измерений привело к тому, что гораздо более широкий круг экспериментаторов вынужден был непосредственно применять в своей работе квантовую механику (см., например, [29]). В результате родились по сути дела новые области науки, такие, как квантовая оптика. Работающие в этих новых областях люди выработали для себя наглядные образы и простые формулировки, позволяющие студенту или начинающему исследова­телю легко "войти" в квантовую механику, научиться безошибочно решать возникающие в ней типичные для его области исследований задачи. Появился простой язык, облегчающий выработку квантовомеханической интуиции.

Параллельно с этим процессом "освоения" квантовой механики гораздо большим, чем ранее, числом физиков и инженеров и в тесной связи с этим процессом расширя­лись ее старые приложения (такие, как теория сверхпро­водимости) и возникали совершенно новые (такие, как квантовая информация). Практика работы с квантовой механикой лишила многие ее специфические черты (такие, как суперпозиция состояний, запутанные состоя­ния) ореола парадоксальности, присущего им ранее.

В квантовой механике есть, однако, другие вопросы, в которых до сих пор чувствуется некоторая таинствен­ность или парадоксальность и которые именно по этой причине могут оказаться новой точкой роста в квантовой теории. Перейдем к рассмотрению этого круга вопросов.

 

 

3. "ШРЁДИНГЕРОВСКИЙ КОТ"

 

Всем известно, что пространство состояний квантовоме­ханической системы линейно. Это значит, что наряду с любыми двумя ее состояниями ïy₁ñ, ïy₂ñ возможным состоянием является также и их линейная комбинация (суперпозиция) c₁ïy₁ñ + c₂ïy₂ñ любыми (комплексными) коэффициентами c₁, c₂. Например, если точечная частица может находиться в одной из двух точек, то она может находиться и "одновременно в обеих точках". В классиче­ской механике ничего подобного нет. Множество состоя­ний классической системы не является линейным прост­ранством. Классическая система может находиться в одном из возможных состояний, но нельзя придать никакого смысла сумме этих состояний. Более наглядно: камень может находиться либо в одной точке, либо в другой, но не в обеих. Под точками, разумеется, понимаются конечные области, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними.

Возможность суперпозиций давно уже никого не удивляет в применении к микроскопическим объектам (элементарным частицам или атомам). Давно поста­влены опыты, прямо демонстрирующие наличие супер­позиций. Классическим примером таких опытов является знаменитый двухщелевой эксперимент — возникновение интерференционной картины при про­хождении потока частиц сквозь непрозрачный экран с двумя щелями. С другой стороны, кажется невозмож­ным существование суперпозиций для макроскопически различимых состояний макроскопического тела (напри­мер, для двух различных положений камня).

Однако между этими двумя утверждениями по сути дела имеется противоречие. Оно связано с возмож­ностью "усиления", при котором суперпозиция двух микросостояний превращается в суперпозицию двух макросостояний. Такое усиление происходит при кван­товом измерении, т.е. при любом измерении, произве­денном над квантовомеханической системой.

Наличие противоречия или парадокса очень наглядно выразил Шрёдингер в рассуждении или мысленном эксперименте, получившем известность под именем "шрёдингеровского кота".

 

3.1. Суперпозиция живого и мертвого кота

Распад нестабильной квантовой системы (например, радиоактивного атома) подчиняется экспоненциаль­ному вероятностному закону. За время, много большее, чем период полураспада, распад заведомо произойдет. Это значит, что за такое время состояние ïy₁ñ описы­вающее нераспавшийся атом, перейдет в состояние ïy₂ñ, описывающее распавшийся атом и продукты его рас­пада. В любой же промежуточный момент времени состояние нестабильного атома описывается как супер­позиция c₁ïy₁ñ + c₂ïy₂ñ нераспавшегося и распавшегося атома (коэффициент с₁ убывает, а коэффициент c₂ возрастает с течением времени).

Это не вызывает удивления, поскольку речь идет о микроскопической системе — атоме, а для микроскопи­ческих систем суперпозиции состояний возможны. Предположим, однако, что продукты распада детекти­руются, скажем, счетчиком Гейгера, а выход счетчика подключен к реле, которое включает макроскопическое устройство. Для того, чтобы драматизировать ситуа­цию и тем самым усилить убедительность рассуждения, Шрёдингер предположил, что атом вместе со счетчиком Гейгера помещен в ящик, где кроме этого находится кот, ампула с ядом и устройство, которое может эту ампулу разбить. При распаде атома и срабатывании счетчика включается устройство, разбивающее колбу с ядом, и бедняга кот умирает. Все ясно после того, как пройдет период, намного превышающий период полу­распада атома: кот будет заведомо мертв. Однако в момент времени, сравнимый с периодом полураспада, атом находится в состоянии суперпозиции нераспавше­гося и распавшегося атома. Но это значит, что кот в этот момент находится в состоянии суперпозиции живого и мертвого кота!

Налицо противоречие между выводом (о необходи­мости суперпозиции), к которому мы пришли, рассуждая логически, и наблюдением, которое вряд ли можно подвергнуть сомнению: кот может быть либо живым, либо мертвым, никто никогда не видел чего-либо похо­жего на суперпозицию этих двух состояний.

Можно несколько уточнить или по-другому сформу­лировать вывод. В какой бы момент мы ни открыли ящик, мы увидим либо живого кота (и это будет озна­чать, что атом еще не распался), либо мертвого (и это значит, что атом успел к этому моменту распасться). Однако пока мы не открыли ящик, логика квантовой механики заставляет нас считать, что система (атом + кот) находится в суперпозиции двух состояний: (нера­спавшийся атом + живой кот) и (распавшийся атом + мертвый кот). Парадокс состоит в том, что описание ситуации зависит от того, открыли ли мы ящик, чтобы посмотреть, что в нем находится, или не открывали его.

 

3.2. "Усиление" квантовой суперпозиции.

Все, что находится в ящике помимо атома, имеет целью произвести "усиление", превращающее суперпозицию состояний микроскопической системы в суперпозицию состояний макроскопической системы. Такое усиление происходит при любом квантовом измерении. Механизм усиления состоит в образовании запутанного состояния, включающего макроскопическое количество подсистем (или степеней свободы). Поясним это.

При усилении происходит взаимодействие квантовой системы (находящейся в состоянии суперпозиции) с другими системами (или степенями свободы), вызываю­щее запутывание (квантовую корреляция) с ними. Затем и исходная система, и уже запутанные с ней системы в свою очередь взаимодействуют с еще большим коли­чеством систем, вовлекая их в запутанное состояние. Так происходит до тех пор, пока не образуется запутан­ное состояние, включающее огромное число систем или по крайней мере огромное число степеней свободы. Если такие процессы охватывают достаточное количество степеней свободы, то результирующее состояние нельзя интерпретировать иначе чем как суперпозицию макро­скопически различимых состояний макроскопической системы. Теперь мы то же самое опишем с помощью простейших формул. Предположим, что микроскопиче­ская (и потому заведомо квантовая) система y находится в состоянии суперпозиции c₁ïy₁ñ + c₂ïy₂ñ. Пусть эта система провзаимодействовала с некоторой другой системой a. При заданном начальном состоянии ïa₀ñ системы a результат взаимодействия зависит от состоя­ния системы y. Мы будем рассматривать лишь такое взаимодействие, которое приводит к различению между состояниями ïy₁ñ и ïy₂ñ и при этом не меняет этих состояний. Именно такое взаимодействие характерно для ситуаций, которые можно назвать измерением (в данном случае это измерение, характеризуемое проекто­рами ïy₁ñáy₁ï и ïy₂ñáy₂ï. "Различение" означает, что конечные состояния системы a, соответствующие на­чальным состояниям ïy₁ñ и ïy₂ñ системы y различны. Переход, вызванный таким взаимодействием, можно описать как

 

ïy₁ñïa₀ñ ® ïy₁ñïa₁ñ,     ïy₂ñïa₀ñ ® ïy₂ñïa₂ñ.

 

Здесь стрелка заменяет действие унитарного оператора, описывающего эволюцию. Но тогда в силу линейности этого оператора начальное состояние c₁ïy₁ñ + c₂ïy₂ñ системы y вызовет переход

 

(с₁ïy₁ñ + с₂ïy₂ñ) ´ ïa₀ñ ® с₁ïy₁ñïa₁ñ + с₂ïy₂ñïa₂ñ.

 

Таким образом, после взаимодействия возникло запу­танное состояние систем y и a.

Предположим теперь, что взаимодействие захва­тывает большее число систем (или степеней свободы) a, b, g,... , w. При этом исходная (измеряемая) система y не обязательно взаимодействует с каждой из этих систем. Она может взаимодействовать лишь с некоторыми из них, а далее уже эти провзаимодействовавшие с y системы могут взаимодействовать с остальными (и друг с другом). Важно лишь, что так или иначе информа­ция о состоянии системы y будет записана в состояниях всех остальных рассматриваемых систем. По-прежнему мы будем предполагать, что состояние системы y не меняется, а состояния остальных систем зависят от этого состояния таким образом, что они различают между состояниями ïy₁ñ и ïy₂ñ. Это значит, что в результате взаимодействия происходит переход

 

ïy₁ñïa₀ñïb₀ñïg₀ñ…ïw₀ñ ® ïy₁ñïa₁ñïb₁ñïg₁ñ…ïw₁ñ,

ïy₂ñïa₀ñïb₀ñïg₀ñ…ïw₀ñ ® ïy₂ñïa₂ñïb₂ñïg₂ñ…ïw₂ñ.

 

Тогда в силу линейности оператора эволюции супер­позиция состояний ïy₁ñ и ïy₂ñ системы y вызывает переход

 

(с₁ïy₁ñ + с₂ïy₂ñ)ïa₀ñïb₀ñïg₀ñ…ïw₀ñ ®

® с₁ïy₁ñïa₁ñïb₁ñïg₁ñ…ïw₁ñ + с₂ïy₂ñïa₂ñïb₂ñïg₂ñ…ïw₂ñ =

= с₁ïy₁ñïА₁ñ + с₂ïy₂ñïА₂ñ                                             (3)

 

Если число систем, участвующих во взаимодействии, макроскопически велико, то таким образом возникает запутывание системы y с макроскопической системой А, и образуется суперпозиция двух различных состояний макроскопической системы. Состояния, входящие в суперпозицию, "макроскопически различимы" в том смысле, что огромное число степеней свободы в них описываются различными волновыми функциями. Таким образом, возникает суперпозиция макроскопиче­ски различимых состояний макроскопической системы. Это и есть механизм усиления, о котором говорилось выше.

Таким образом, следуя обычным правилам кван­товой механики, мы приходим к выводу, что супер­позиции должны существовать даже для сколь угодно больших систем (имеющих сколь угодно много степеней свободы). Естественно возникает вопрос о том, можно ли создавать и наблюдать суперпозиции различимых состояний макроскопических систем. Иногда такую задачу формулируют как создание и наблюдение "шрёдингеровских котов".

Разумеется, вопрос о том, что значит макроскопиче­ская система или какая система ведет себя классически, не так прост [9, 30-32]. Однако в любом случае можно пытаться создавать суперпозиции для систем, состоя­щих из все большего и большего количества частиц. Трудность экспериментальной реализации этой про­граммы состоит в том, что при этом система должна быть очень тщательно изолирована, иначе суперпозиции быстро превращаются в смеси за счет декогеренции (см. далее). Для мезоскопических систем, содержащих не­сколько частиц, задача решена [33, 34]. Эксперимен­тально доказано, что квантовой механике подчиняются не только микроскопические, но и мезоскопические системы.

Суперпозиции удается создавать и в системах с гораздо большим числом частиц. Например, в сверхпро-водящем кольце с помощью эффекта Джозефсона создаются условия, которые (по законам квантовой механики) порождают суперпозицию двух токов проти­воположного направления, в каждом из которых уча­ствует порядка 10¹⁵ электронов. Эксперименты такого рода согласуются с предсказаниями квантовой меха­ники, но до сих пор ни один из них не дает прямого доказательства существования суперпозиции: не исклю­чается интерпретация этих экспериментов в терминах "макрореалистической" теории, в которой нет супер­позиции, а имеется лишь один из токов, только неизвестно, какой именно. Не исключено, что скоро прямое доказательство будет получено в более точных экспериментах.

 

3.3. Декогеренция окружением

Мы видели, что усиление квантовой суперпозиции при­водит к парадоксу: квантовая механика логически ведет к выводу, что должны существовать суперпозиции макро­скопически различимых состояний, однако такие состоя­ния никто никогда не наблюдал. Вместо этого всегда наблюдалось одно из таких состояний. Еще раз поясним суть парадокса на ярком примере "шрёдингеровского кота": пока ящик закрыт, мы можем лишь догады­ваться, что в нем, и если мы верим квантовой механике, то приходим к выводу, что там суперпозиция живого и мертвого кота; однако открыв ящик, мы обнаружим либо живого, либо мертвого кота — ничего другого быть не может.

Эта ситуация воспринимается как парадокс, который требует какого-то объяснения (разрешения). Попытка объяснения, восходящая еще к Гейзенбергу и все более признаваемая научным сообществом в наше время, основана на понятии "декогеренции" (decoherence).

Декогеренция квантовой системы происходит каж­дый раз, когда ее состояние запутывается с состоянием ее окружения, так что информация о состоянии системы "записывается" в состоянии ее окружения. Рассмотрим, например, процесс (3), переводящий исходное факторизованное состояние системы и ее окружение в запутанное состояние

 

ïYñ = с₁ïy₁ñïА₁ñ + с₂ïy₂ñïА₂ñ.

 

Это чистое состояние, поэтому оно может быть выра­жено вектором состояния (волновой функцией). Но мы можем выразить его и в форме матрицы плотности:

 

R = ïYñáYï.

 

Если нас интересует лишь состояние системы y (но не ее окружения А), то описать это состояние можно так называемой редуцированной матрицей плотности, кото­рая равна следу матрицы R по степеням свободы окружения:

 

r = tr_AR = ïc₁ï²ïy₁ñáy₁ï + ïc₂ï²ïy₂ñáy₂ï + c₁c₂^*ïáА₂ïА₁ñïy₁ñáy₂ï + c₂c₁^*ïáА₁ïА₂ñïy₂ñáy₁ï.       (4)

 

Состояния ïA₁ñ и ïA₂ñ макроскопически различимы, т.е. отличаются друг от друга в огромном числе степеней свободы. В обозначениях уравнения (3) ïa₁ñ отличается от ïa₂ñ, ïb₁ñ отличается от ïb₂ñ и так далее. Поэтому ска­лярные произведения áa₁ïa₂ñ, áa₁ïa₂ñ,... по модулю меньше единицы. Следовательно, произведение этих чисел áA₁ïA₂ñ практически равно нулю, и перекрестные члены в (4) исчезают.

Состояние системы y описывается, следовательно, матрицей плотности

 

r = ïc₁ï²ïy₁ñáy₁ï + ïc₂ï²ïy₂ñáy₂ï.                                         (5)

 

Это смешанное состояние, которое можно интерпрети­ровать следующим образом: система находится с вероятностью ïc₁ï² в состоянии ïy₁ñ и с вероятностью ïc₂ï² в состоянии ïy₂ñ. Это в точности то, чего следует ожидать после измерения (по крайней мере, для про­стейшего типа измерения, описываемого постулатом редукции фон Неймана). Возникновение смешанного состояния (5) называется декогеренцией (decoherence). При декогеренции теряется информация об относитель­ной фазе коэффициентов с₁, c₂. Литература по теории декогеренции обширна. Важными работами в этом направлении являются [30, 35-41]. Очень детально и с разных точек зрения физическая природа декогеренции обсуждается в книгах [9, 11], где имеется также полный список литературы. Обзор различных феноменологиче­ских подходов к описанию процесса декогеренции имеется в [42, 43].

Иногда различают два типа смешанных состояний, имеющих одинаковые матрицы плотности: 1) собствен­ные смешанные состояния замкнутой системы, которые возникают, если неизвестно точно, в каком из чистых состояний эта система находится, и 2) несобственные смешанные состояния, возникающие, как в нашем слу­чае, при редуцировании, т.е. при переходе от замкнутой системы к ее подсистеме. Если такое различие прово­дится, то часто утверждается, что несобственные смеси некорректно интерпретировать в терминах "неполного знания", как для собственных смесей. Однако это разли­чие имеет смысл лишь в том случае, если имеется возможность экспериментально контролировать не только саму систему, но и ее окружение (или, в случае замкнутой системы, имеется возможность опытным путем удостовериться, что она замкнута). Никакими опытами, проведенными в рамках некоторой системы, находящейся в смешанном состоянии, невозможно выяс­нить, является ли эта система замкнутой (и тогда смесь описывает неполное знание) или открытой (и тогда она является следствием запутывания системы с окруже­нием). Невозможность опытного различения этих двух случаев непосредственно следует из того факта, что предсказания всех опытов, возможных в данной системе, выражаются через матрицу плотности этой же системы.

Для нас сейчас важно, что вследствие запутывания с окружением система из чистого начального состояния переходит в смешанное состояние. Суперпозиция состоя­ний системы исчезает, по крайней мере, ее невозможно наблюдать, если ограничиться опытами лишь над систе­мой, не затрагивая ее окружения А. Верно и другое: если состояния ïy₁ñ и ïy₂ñ ортогональны, то после запуты­вания системы с ее окружением не только система, но и окружение находится не в состоянии суперпозиции, а переходит в смешанное состояние.

Применяя это к ситуации со шрёдингеровским котом, мы можем теперь описать ситуацию несколько точнее.

Квантовая механика предсказывает, что составная система (атом + кот) находится в суперпозиции двух факторизованных состояний: (нераспавшийся атом + жи­вой кот) и (распавшийся атом + мертвый кот). Если же мы интересуемся лишь атомом, то о нем можно лишь сказать, что он находится в смешанном состоянии, т.е. с вероятностью ïc₁ï² он не распался и с вероятностью ïc₂ï² распался. Аналогично относительно одного лишь кота (если забыть об атоме) можно утверждать, что он находится в смешанном состоянии: с вероятностью ïc₁ï² он живой и с вероятностью ïc₂ï² мертвый. Во всяком случае, никакими опытами, проводимыми с котом и не затрагивающими атом, нельзя выяснить, что истинной причиной появления вероятностного распределения (ïc₁ï², ïc₂ï²) является именно суперпозиция, а не просто неполное знание о том, какое из двух состояний кота (живой или мертвый) имеет место.

Если проводить опыты над полной системой (в нашем случае над системой, включающей и атом, и кота), то отличить суперпозицию от смеси в принципе можно: суперпозиция приводит к некоторым интерфе­ренционным эффектам, которые отсутствуют в случае смеси. Это, конечно, верно, но следует иметь в виду, что для наблюдения таких эффектов обязательно должны быть задействованы все степени свободы макроскопиче­ской системы (кота). Во всяком случае, вне контроля измерительной системы может оставаться лишь ничтож­ное число степеней свободы, иначе суперпозицию от смеси отличить нельзя.

Это видно из модели (3). Если состояния некоторых из степеней свободы y, a, b, g, ..., w остаются вне наблю­дения, то для описания состояния оставшихся степеней свободы следует вычислить для них редуцированную матрицу плотности, вычисляя след по всем степеням свободы, которые не наблюдаются. При этом перекрест­ные (интерференционные) члены в этой матрице плотно­сти будут содержать скалярные произведения, относя­щиеся к степеням свободы, исключенным из наблюде­ния. Каждое из этих скалярных произведений по модулю меньше единицы, и если их достаточно много, интерфе­ренционные члены исчезают, суперпозицию нельзя отли­чить от смеси. Более того, даже если лишь одна степень свободы (скажем, w) остается вне наблюдения, но скалярное произведение для нее áw₁ïw₂ñ равно нулю, то суперпозиция неотличима от смеси. В случае макроско­пического числа степеней свободы невозможно, конечно, контролировать в эксперименте абсолютно все степени свободы. Поэтому с практической точки зрения декогеренция в макроскопических системах представляется неизбежной.

Итак, разрешение парадокса шрёдингеровского кота (состоящего в том, что суперпозиции макроскопически различимых состояний, предсказываемые квантовой механикой, никогда не наблюдаются) может состоять в следующем. Даже если некоторая система находится в состоянии, описываемом суперпозицией, но затем это состояние запутывается с состоянием окружения таким образом, что в окружении остается информация, позво­ляющая различить компоненты суперпозиции, то состоя­ние системы подвергается декогеренции. Это значит, что оно становится смесью (а не суперпозицией) тех же компонент, причем никакими экспериментами, прове­денными над системой (но не затрагивающими окруже­ние, вызвавшее декогеренцию), невозможно выяснить,

является ли смесь следствием имевшейся до этого супер­позиции или она порождается неполным знанием о том, какая из компонент реально существует. Следствием декогеренции является то, что предсказания квантовой теории для макроскопических состояний невозможно отличить от предсказаний макрореалистической теории, если только не контролируются буквально все степени свободы. Разумеется, число компонент в суперпозиции и в смеси может быть любым. Случай двух компонент рассматривался до сих пор лишь для простоты.

Явление декогеренции, следовательно, чрезвычайно важно с концептуальной точки зрения. Кроме того, это явление необходимо учитывать, если влияние окружения на динамику исследуемой системы не является пренебре­жимо малым, т.е. если исследуемая система является открытой. Ввиду этого исследованию декогеренции уделяется большое внимание. В частности, роль декоге­ренции в квантовых измерениях изучалась не только теоретически, но и экспериментально. Наиболее интерес­ными являются опыты, поставленные в Ecole Normale Superieure в Париже [44]. Роль компонент суперпозиции играли состояния электромагнитного поля в сверхпроводящем резонаторе, близкие к когерентным состоя­ниям.

Когерентное состояние — это состояние, макси­мально близкое к некоторой моде классического элект­ромагнитного поля^{смысле: наличие определенной от' href="#s10">10}, и оно включает очень много фотонов. Для опыта брались состояния, близкие к двум модам, которые отличаются фазой. Поскольку в резона­торе было лишь несколько фотонов, исследуемые состоя­ния не были в точности когерентными, но обладали близкими свойствами. Поскольку фотонов было мало, можно было образовать суперпозицию двух мод с разными фазами ("мезоскопический шрёдингеровский кот"). Ввиду того, что диссипация в сверхпроводящем резонаторе мала, суперпозиция не распадалась в течение заметного времени, так что в течение этого времени отсутствовала неконтролируемая декогеренция. Вместо этого вводилась медленная контролируемая декогерен­ция. Для этого через резонатор один за другим пропу­скались атомы, которые, взаимодействуя с фотонами, постепенно производили декогеренцию. При этом возни­кало запутанное состояние фотонов и атомов и инфор­мация о фазе электромагнитного поля записывалась в состояниях атомов. В итоге суперпозиция мод электро­магнитного поля с двумя разными фазами постепенно превращалась в их смесь (происходила декогеренция).

Таким образом, картина декогеренции, происходя­щей во время квантового измерения, реализована и исследована в мезоскопической системе. Декогеренция, следовательно, не только предсказана теоретически, но и подтверждена экспериментально. Несомненно, что деко­геренция приподнимает завесу таинственности, которой окутано квантовое измерение. Однако полностью ли решается этим "проблема измерения" в квантовой меха­нике? У некоторых физиков на этот счет остаются сомнения. Попытки решить эту проблему более радикально ведут к очень интересным вариантам развития теории.

 

 

4. РАСШИРЕНИЕ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

 

В этом разделе мы рассмотрим некоторые варианты квантовой теории измерений, которые выходят за рамки теории декогеренции, но начнем с того, что сформулируем преимущества и недостатки этой послед­ней.

 

4.1. Решает ли декогеренция проблему измерения?

С практической точки зрения декогеренция полностью объясняет, как происходит процесс измерения и как после измерения возникает смешанное состояние, эквивалент­ное вероятностному распределению по различным чистым состояниям, соответствующим альтернатив­ным результатам измерения. Объяснение дается в рам­ках квантовой механики замкнутой системы, однако на последнем этапе рассмотрение ограничивается некото­рой подсистемой, а по степеням свободы, остающимся вне этой подсистемы, производится усреднение. Именно это усреднение и ведет к появлению смешанного состоя­ния. Если не ограничиваться подсистемой, а рассматри­вать замкнутую систему, то вместо смешанного состоя­ния будет фигурировать суперпозиция, что, как было показано, ведет к парадоксу шрёдингеровского кота.

Таким образом, объяснение квантового измерения на основе декогеренции можно считать вполне удовлетво­рительным, если мы готовы ограничиться рассмотре­нием только открытых систем и никогда не рассматри­вать замкнутые системы. В сущности, в таком ограниче­нии нет ничего неприемлемого. Более того, оно вполне соответствует духу физики. В физике принято ставить лишь такие вопросы, на которые можно ответить путем наблюдения (измерения), а наблюдение не может конт­ролировать каждую из макроскопического числа степе­ней свободы.

Если измерение описывается в терминах открытой системы, то эта система может быть сколь угодно широкой, но вне ее должны оставаться какие-то степени свободы, в которых в той или иной форме записывается информация о результатах измерения. Эта оговорка характерна для квантового измерения и соответствует хорошо известному произволу в разделении всей Все­ленной на измеряемую систему и прибор. Можно назвать прибором все, кроме той системы, состояние которой измеряется, а можно включить в систему и часть аппаратуры, назвав прибором лишь его записывающее устройство (стрелку), можно стрелку также включить в измеряемую систему, а прибором назвать все остальное, начиная с фотонов, летящих в глаз наблюдателя, и т.д. Можно называть измеряемой системой все более и более широкую систему, но вне ее всегда следует оставлять нечто, несущее информацию о состоянии измеряемой системы. Поскольку самого наблюдателя, его мозг, механизмы памяти и т.д. обычно не рассматривают в рамках физики, мы приходим к заключению, что все собственно физические вопросы можно сформулиро­вать и решить в рамках теории открытых систем, опираясь на механизм декогеренции. Как мы могли убедиться, концептуальные вопросы квантовой меха­ники находят в рамках такого подхода вполне удовле­творительное разрешение.

Этот подход активно развивается, в частности, в направлении описания все более и более сложных измере­ний. Рассматриваются и непрерывные (длящиеся во времени) квантовые измерения. Проблемы, возникаю­щие при таком подходе, носят технический, а не концеп­туальный характер. Они направлены на построение эффективной теории открытых (измеряемых) систем (см., например, обзор [42] и книгу [43]). Можно выделить два существенно различных уровня описания таких систем — неселективный и селективный. При неселектив­ном описании учитываются все возможные результаты измерения, каждый из которых характеризуется опреде­ленной вероятностью. Поведение измеряемой системы описывается при этом матрицей плотности, которая содержит в себе и альтернативные чистые состояния, и распределение вероятностей по этим состояниям. При селективном описании вопрос ставится иначе: как ведет себя система в случае, если измерение дает один опреде­ленный результат из всех возможных альтернативных результатов? В этом случае поведение системы описы­вается вектором состояния (волновой функцией), кото­рый зависит от результата измерения. Разумеется, для однократного измерения (которое только и рассматри­валось выше) разница между этими двумя описаниями невелика. Однако в случае, если измерение повторяется много раз и нужно проследить, как меняется состояние системы под влиянием этой серии измерений, два под­хода существенно различаются технически (при этом физическое содержание процесса, разумеется, одно и то же). В еще большей степени это относится к непрерыв­ному измерению.

Итак, теория открытых систем позволяет описать квантовые измерения, не сталкиваясь с серьезными концептуальными проблемами. Однако для некоторых исследователей этого оказывается недостаточно, и они пытаются пойти дальше, еще более усовершенствовать квантовую теорию. Мотивировки могут быть различ­ными. Некоторые считают, что первичной должна быть непременно теория замкнутых систем, а открытые системы следует рассматривать лишь как подсистемы замкнутых. Для других мотив для дальнейших поисков состоит в том, что несобственные смеси нельзя интерпре­тировать в терминах неполного знания (как мы это делали в разделе 3.3), так что рассуждение, приводящее к неразличимости суперпозиций и смесей при декогерен­ции, кажется им неубедительным. Фактически такой аргумент означает, что исследователь не согласен огра­ничивать описание открытой системой и хочет включить в описание ее окружение (только там лежит ответ на вопрос, является ли смесь собственной или несобствен­ной). Это также предполагает описание в терминах замкнутой системы.

На наш взгляд, самой убедительной мотивировкой исследований, идущих дальше, чем теория декогеренции, является следующая: явление декогеренции хорошо объясняет, почему возникают различные альтернатив­ные результаты измерения, каждая со своей вероят­ностью, но хотелось бы иметь теорию, которая описы­вала бы, как происходит выбор (селекция) одной из альтернатив.

 

4.2. Попытки углубить теорию

Наиболее прямолинейной попыткой построить более глубокую теорию квантовых измерений является гипо теза спонтанной декогеренции [45]. В этой теории урав­нение Шрёдингера модифицируется включением стоха­стического члена, описывающего спонтанную декогеренцию. Таким образом, декогеренция в этой теории не является следствием взаимодействия системы с окруже­нием, а время от времени происходит спонтанно без всякого внешнего влияния. Декогеренция становится, таким образом, одним из фундаментальных законов природы. Параметры модифицированного уравнения Шрёдингера подбираются так, чтобы его предсказания на микроскопическом уровне согласовывались с пред­сказаниями квантовой механики, но на макроскопиче­ском уровне приводили к отсутствию суперпозиций макроскопически различимых состояний. Такую тео­рию при фиксированных параметрах всегда можно проверить экспериментально, и предложенные уже варианты теории, видимо, будут проверены в ближай­шие годы. С другой стороны, если проверка на сегодняш­нем уровне точности даст отрицательный результат, можно не отказываться от теории, но лишь изменить ее параметры.

Еще ряд теорий, которые претендуют на более высокий уровень фундаментальности, чем обычная кван­товая теория — это

— квантовая механика Давида Бома,

— теория совместных квантовых историй,

— многомировая интерпретация квантовой меха­ники.

В квантовой механике Бома [46] наряду с волновой функцией элементарной частицы вводится также ее траектория. Предполагается, что движение частицы можно описывать как движение по траектории, но статистика траекторий выводится из уравнения Шрёдин­гера. Таким образом, предсказания теории совпадают с предсказаниями обычной квантовой механики. Отличие теории Бома от обычной вероятностной интерпретации квантовой механики в какой-то мере можно считать лишь терминологическим, однако такого рода отличия часто рассматриваются, когда дело идет о различных "интерпретациях" и обобщениях квантовой механики.

Теория совместных квантовых историй [47-49] опи­рается на картину эволюции квантовой системы, напо­минающую фейнмановский интеграл по путям. У Фейнмана амплитуда распространения представляется как сумма (интеграл) амплитуд, соответствующих различным путям, ведущим из начальной точки к конечной. В теории совместных историй полная амплитуда предста­вляется как сумма амплитуд, соответствующих различ­ным "квантовым историям". Каждую историю можно (несколько упрощенно) представить как пучок фейнмановских путей. Далее ставится вопрос о том, в каком случае с таким пучком путей (с квантовой историей) можно корректно ассоциировать не только амплитуду вероятности, но и вероятность. Оказывается, это можно сделать, если пучок путей является достаточно широким. Более конкретно, выводится условие, необходимое для корректного введения вероятностей. Оно называется условием совместности квантовых историй. Такие доста­точно широкие пучки путей (совместные истории) можно рассматривать как описывающие классическое движе­ние.

Теория совместных историй показывает, следова­тельно, как классические черты эволюции возникают из чисто квантового описания системы. В данном случае квантовая система предполагается замкнутой. Если в рамках такой теории мы описываем измерение, то рассмотрение включает и измеряемую систему, и изме­рительный аппарат. Теория совместных историй позво­ляет сформулировать необходимое условие появления классических черт — это условие совместности историй (в работе [50] показано, что это условие не является достаточным). Однако эта теория тоже ограничивается перечислением альтернативных классических вариантов эволюции вместе с соответствующими вероятностями. Такая теория не претендует на явное описание механизма селекции, выбора одной из этих альтернатив. Таким образом, задача, сформулированная в конце раздела 4.1, теорией совместных историй не решается.

Наиболее радикальным вариантом углубления тео­рии является многомировая интерпретация квантовой механики, предложенная Эвереттом и развитая Уилером [51, 52]. Иногда она называется интерпретацией Эверетта-Уилера. В этом подходе рассматривается замкнутая система, включающая и измеряемую подси­стему, и прибор, и наблюдателя (словом, всю Вселенную, весь мир). Соответственно, декогеренции не происходит и нет никакой причины для того, чтобы суперпозиция альтернативных чистых состояний превратилась в смесь. Согласно интерпретации Эверетта, каждая из компонент суперпозиции описывает целый мир, и ни одна из них не имеет преимущества перед другой. Имеется столько миров, сколько альтернативных результатов имеет рас­сматриваемое измерение. В каждом из этих миров имеется и измеряемая система, и прибор, и наблюда­тель. И состояние системы, и состояние прибора, и сознание наблюдателя в каждом из этих миров соответ­ствует лишь одному результату измерения, но в разных мирах результаты измерения различны.

Таким образом, если в теории декогеренции возможны разные результаты измерения, но реали­зуется (с соответствующей вероятностью) лишь один из них, то в интерпретации Эверетта одинаково реальны все результаты измерения, но реализуются они в разных мирах. Заметим, что в интерпретации Эверетта про­блема выбора (селекции) результата измерения все же существует, она лишь иначе формулируется. Вопрос: "Какой из результатов измерения реализуется?" — теперь не стоит, потому что одинаково реальны все результаты. Зато появляется вопрос: "В каком из эвереттовских миров оказался данный наблюдатель?"

В более наглядной формулировке, предложенной Уилером, в момент квантового измерения перед наблю­дателем как бы оказывается железнодорожная стрелка, и его поезд может пойти в одном из нескольких направле­ний. В зависимости от того, в каком направлении пойдет поезд, наблюдатель увидит тот или иной результат измерения. Возможные направления поезда соответ­ствуют альтернативным результатам измерения или различным эвереттовским мирам. Поезд всегда пойдет лишь по одному из направлений, но все остальные столь же реально существуют, и в других направлениях то же измерение дает другие результаты.

 

4.3. Квантовая механика и сознание

Таким образом, в интерпретации Эверетта-Уилера трудный вопрос о селекции, т.е. о выборе одного из множества альтернативных результатов измерения, по крайней мере, освещается с иной точки зрения. Попробуем все же выяснить, нельзя ли далее продвинуться в решении этого вопроса.

Прежде напомним вывод, к которому мы пришли ранее относительно теории открытых измеряемых систем. Условно теорию открытой системы можно представить следующей диаграммой:

 

 Система  ¬®

 

Эта диаграмма означает, что влияние окружения на систему учитывается, хотя конкретная модель окруже­ния не включается в описание. Мы выяснили, что такая теория

— с точки зрения физики полна, так как может включать любую часть Вселенной, за исключением, быть может, каких-то глубоких структур в мозгу, в которых отображается информация о результате изме­рения;

— не содержит парадоксов (приводит к смешанным состояниям, а не к суперпозициям);

— может описывать выбор альтернативного резуль­тата измерения (селекцию) лишь феноменологически, механизм выбора не обсуждается.

Упомянутое в последнем пункте феноменологическое описание селекции можно формализовать в случае мгновенного (в реальности — пренебрежимо малой длительности) измерения постулатом редукции фон Неймана, а в случае непрерывного измерения — ограни­ченным интегралом по путям или мнимым потенциалом [42, 43].

Такое описание селекции решает, разумеется, все практические задачи. Однако с концептуальной точки зрения именно то, что в теории открытых систем селекция описывается феноменологически, можно вос­принимать как слабый пункт, требующий поиска более полной или более фундаментальной теории. По-види­мому, такая теория должна базироваться на рассмотре­нии замкнутых систем, соответствующих диаграмме

 

 Система  ¬®  Окружение  

 

(в этом случае модель окружения фигурирует в теории в явном виде).

Как мы могли уже убедиться, такая теория приводит к суперпозициям макроскопически различимых состоя­ний (к парадоксу шрёдингеровского кота), поскольку не содержит механизма декогеренпии. Кроме того, стре­мясь описать измерение в терминах замкнутой системы, мы вынуждены все дальше и дальше отодвигать границы рассматриваемой системы, так что в конце концов она начинает захватывать органы чувств наблюдателя и те структуры в его мозгу, которые ответственны за отобра­жение информации о результате измерения.

Если хотя бы одна такая структура останется вне того, что мы включаем в измеряемую систему, то 1) возникает декогеренция, в результате которой мы избавляемся от парадоксальной суперпозиции различи­мых состояний, но зато 2) селекция (выбор) одной из альтернатив описывается лишь феноменологически, но не вскрывается ее механизм.

Если же мы включаем в рассматриваемую систему все степени свободы, в которых могла бы быть отра­жена информация об альтернативе (переходим к теории замкнутой системы), то декогеренции не происходит, в силу чего: 1) остается суперпозиция и 2) по-прежнему не видно никакого механизма селекции одной из альтерна­тив (в данном случае — одной из компонент супер­позиции).

Может быть, селекция вообще никогда не происхо­дит? В интерпретации Эверетта предполагается именно это: все альтернативы одинаково реальны. Однако одно обстоятельство убеждает, что выбор все же всегда делается: в реальном опыте каждый экспериментатор имеет дело лишь с одной альтернативой. Открывая ящик со шрёдингеровским котом, любой эксперимента­тор увидит либо живого, либо мертвого кота.

Таким образом, пытаясь оставаться в рамках обыч­ных физических концепций, мы всегда имеем дело со всей совокупностью альтернатив, но, описывая происходящее с точки зрения сознания конкретного наблюдателя, мы всегда имеем дело лишь с одной из них. По-видимому, приходится сделать вывод, который очень труден для физика: теория, которая могла бы описывать не только множество альтернативных результатов измерения и вероятностное распределение по ним, но и механизм выбора одного из них, обязательно должна включать сознание.

В различных формах мысль о необходимости вклю­чения наблюдателя и даже сознания в теорию высказы­валась с первых лет существования квантовой механики. Например, это было характерно для взглядов Паули [53]. В работе Вигнера [54] содержится даже гораздо более сильное утверждение: сознание не только необходимо включить в теорию измерения, но сознание может влиять на реальность. Подобную мысль высказывал и Шрёдингер в эпилоге, которым заканчивается книга жизнь? Физический аспект живой клетки (Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 1999)' href="#z55">[55]. Позже мы еще вернемся к странному утверждению о влиянии сознания на реальность. Сейчас же лишь заме­тим, что роль сознания в интерпретации квантовой механики обсуждалась в последние годы очень широко (см., например, [7, 8-10, 15]).

 

4.4. Выбор альтернативы — это и есть работа сознания?

Можно ли что-либо добавить к тому, что уже говорилось по поводу роли сознания в квантовом измерении? Кажется существенным сделать еще один шаг, на пер­вый взгляд небольшой, но по нашему мнению принци­пиальный.

Мы уже отмечали, что оставаясь в рамках концепций, типичных для физики, мы не можем описать механизм выбора одной из альтернатив. Это нерешенная задача. Предыдущие аргументы дают намек, что решение этой задачи следует искать, включая в рассмотрение сознание наблюдателя. С другой стороны, хотя психологи давно исследуют работу сознания, по-видимому, никто нико­гда не ответил в достаточно удовлетворительной форме, что же такое сознание или как и почему происходит осознание? Функция сознания остается таинственной и непонятной. Это также нерешенная задача.

Таким образом, мы имеем дело с двумя нерешен­ными проблемами: 1) как происходит выбор одной альтернативы при квантовом измерении и 2) как функ­ционирует сознание. В истории науки известно, что иногда две трудные проблемы решаются одновременно, как бы помогают решать одна другую. Возможно, в данном случае мы имеем дело именно с такой парой глубоко связанных друг с другом проблем.

Основываясь на этом, мы предлагаем следующую гипотезу: Функция сознания состоит в том, чтобы выбрать один из альтернативных результатов кван­тового измерения. Если сформулировать нашу гипотезу в рамках многомировой интерпретации Эверетта, она звучит нескольно иначе: функция сознания состоит в том, чтобы выбрать один из альтернативных эвереттов­ских миров¹¹. На вопрос: что такое осознание? следует ответить: это выбор альтернативы при квантовом изме­рении. Лишь после того, как выбор сделан, возникает определенная картина происходящего, описываемая языком классической физики (например, лишь после этого стрелка прибора оказывается в определенном положении). Пока же выбор не произошел, есть лишь квантовая картина с присущим ей множеством альтерна­тив. Можно сказать так: лишь выбор альтернативы определяет, что же происходит в реальности. Но ведь это именно то, что принято понимать под осознанием: только осознание отвечает на вопрос, что же происходит в реальности. Таким образом, гипотеза об отождествле­нии сознания с квантовой селекцией вполне соответ­ствует нашей интуиции.

Сформулированная гипотеза близка к тому, что предлагал Сквайрс [7]. Он считал, что сознание — это окно, открывающееся в квантовый мир. Оно не позво­ляет видеть весь квантовый мир, но лишь один его фрагмент (соответствующий одному из альтернативных результатов квантового измерения или одному из эвереттовских миров).

Подчеркнем все же некоторое отличие предлагаемой нами гипотезы от того, что обсуждалось в литературе до сих пор. Многие авторы говорили о том, что при объяснении квантового измерения следует так или иначе включать в рассмотрение сознание наблюдателя. Мы же считаем, что функция сознания (осознание) сама по себе есть один из этапов квантового измерения, именно — выбор (селекция) альтернативы. Сознание, следовательно, не нужно включать в теорию измерения. Оно уже включено в нее. Нужно лишь узнать в одном из элементов теории измерения (этим элементом является выбор альтернативы) то, что в другом контексте назы­вается осознанием.

Может возникнуть одно возражение против такой гипотезы. Если функция сознания состоит в том, чтобы выбрать один из результатов измерения, то почему они выбираются с разными вероятностями, именно с теми, которые предсказывает квантовая механика? Оказы­вается, однако, что в теории Эверетта на этот вопрос имеется очень простой и красивый ответ. В этой теории показывается, что среди всех параллельных миров есть тождественные (т.е. такие, в которых все подсистемы имеют одно и то же состояние). При этом мир некото­рого определенного типа встречается тем чаще, чем больше квантовомеханическая вероятность соответ­ствующей альтернативы. Другими словами, если N — общее число эвереттовских миров, а N_i — число миров, соответствующих i-й альтернативе, то p_i = N_i/N — квантовомеханическая вероятность соответствующей альтернативы.

Таким образом, если функция сознания состоит в выборе одного из параллельных миров и этот выбор делается наугад (т.е. с равной вероятностью будет выбран любой из миров), то i-й альтернативный резуль­тат измерения будет выбран как раз с вероятностью р_i.

Это замечание является существенной поддержкой нашей гипотезы об отождествлении функции сознания с селекцией эвереттовского мира. При этом можно отве­тить на известное возражение Эйнштейна Бору. Имея в виду вероятностную интерпретацию квантовой меха­ники, Эйнштейн сказал: "Я не верю, что Бог играет в кости". Исходя из сформулированной гипотезы, можно на это ответить: "Да, Бог не играет в кости, он равно приемлет все возможности. В кости играет сознание каждого наблюдателя".

Рассуждая далее на основе высказанной гипотезы, можно заметить, что от нее остается лишь небольшой шаг до мысли Вигнера [54] о том, что сознание может влиять на реальность. Действительно, если обычно сознание выбирает один из эвереттовских миров наугад, вслепую, то почему не предположить, что может сущест­вовать такое сознание (наделенное особым талантом или специальным образом тренированное), которое может делать этот выбор целенаправленно. В таком случае выбор может быть предопределен или, по крайней мере, вероятность определенного выбора может быть повы­шена усилием воли. В терминологии Уилера, наблюда­тель, наделенный таким "активным" сознанием, может по своей воле переключать стрелку и направлять поезд по избранному им пути (или, по крайней мере, увеличи­вать вероятность того, что поезд пойдет по избранному пути).

Разумеется, это не доказательство, а чистая спекуля­ция, однако в данном контексте она кажется естествен­ной. Тем не менее, в такую спекуляцию не так-то легко поверить. Сделаем замечания, которые снимают два возможных возражения. На первый взгляд кажется, что гипотеза о влиянии сознания на выбор альтернативы (назовем ее гипотезой об активном сознании) ведет 1) к несогласованности наблюдений различных эксперимен­таторов и 2) к возможности нарушения законов природы. Однако это не так или не совсем так.

Кажется, что если исход измерения в какой-то мере зависит от наблюдателя, то два разных наблюдателя одного и того же измерения могут видеть разные результаты. Скажем, руководитель экспериментальной группы и его ассистент, взглянув на прибор, увидят разные показания, потому что руководитель хочет, чтобы показания были высокими, а ассистент стремится к низким (это может быть, если они верят в различные теории и каждый хочет, чтобы его теория подтверди­лась). Разумеется, в практике такое не происходит, и это могло бы немедленно дискредитировать гипотезу о влиянии сознания на результат измерения. Однако более тщательный анализ показывает, что гипотеза об активном сознании никогда не приведет к такого рода несогласованностям.

Обратимся к наглядной модели (3). В ней состояние руководителя (его мозга) и состояние ассистента описы­вается различными факторами (или группами факторов) в каждом произведении. Пусть, например, это факторы a и b. Очевидно, что эти факторы будут либо в состоянии ïa₁ñïb₁ñ, либо в состоянии ïa₂ñïb₂ñ. Показания прибора, которые видят оба сотрудника, всегда согласованы друг с другом. Если какой-то наблюдатель усилием воли увеличивает вероятность своего попадания в некоторый из эвереттовских миров, то вместе с ним в этом мире он обнаруживает и всех других людей, которые имеют доступ к информации о результате измерения (или его последствий).

В приведенном выше примере, если и руководитель группы, и его ассистент обладают активным сознанием, то руководитель, взглянув на прибор, скорее всего удостоверится, что прибор выдал высокие показания (и продемонстрирует это своему ассистенту, который вынужден будет согласиться); с сознанием ассистента все будет наоборот: скорее всего он увидит, что прибор дает низкие показания, и продемонстрирует это своему руководителю. Руководитель и ассистент скорее всего по-разному переключат железнодорожную стрелку и скорее всего увидят (каждый в своем сознании) разные эвереттовские миры, однако каждый из этих миров будет внутренне согласован. Правда, этот произвол с переклю­чением стрелок вселяет сомнения в объективности науки. К этому мы вскоре вернемся.

Второе из упомянутых выше сомнений состоит в следующем. На первый взгляд кажется, что если усилием воли можно попасть в тот из эвереттовских миров, который больше нравится, то тем самым меняются вероятности различных результатов измере­ния, т.е. обычные выводы квантовой механики неверны, нарушаются законы природы. Первое возражение про­тив этого состоит в том, что попасть можно лишь в такой эвереттовский мир, который существует и в который всегда можно попасть также и обычным образом, когда сознание выбирает один из миров наугад. Следова­тельно, если один из людей обладает способностью по своему желанию выбирать некоторый определенный результат измерения, то окружающие всегда могут объяснить это случайностью: вероятность этого, пусть малая, всегда существует. Другое дело, что такой человек мог бы демонстрировать такие способности повторно. Каждый раз его успех может быть объяснен случайным совпадением, но если это будет происходить много раз, то вероятность случайного совпадения будет умень­шаться и может стать чрезвычайно малой. При этом все же нет никакой возможности доказать с достоверностью, что это не случайное совпадение.

К тому же представлением о том, что данному человеку удается многократно повторить маловероят­ное событие (сотворить чудо), возникает лишь в созна­нии самого "чудотворца" (в силу того, что это сознание специальным образом выбирает эвереттовский мир). И это лишь в его сознании другие наблюдатели оказы­ваются свидетелями этого многократного повторения и тем самым убеждаются в его способностях. Если же мы рассмотрим, как то же самое выглядит с точки зрения одного из наблюдателей, обладающего обычным созна­нием, то окажется, что он в огромном большинстве случаев увидит, что событие, обещанное чудотворцем, не происходит. Ведь его сознание, выбирая эвереттов­ский мир наугад, окажется скорее всего в таком мире, в котором маловероятное событие не осуществляется. Вывод состоит в том, что нарушение законов природы может оказаться возможным в индивидуальном опыте некоторых людей (обладающих активным сознанием), но люди с обыкновенным сознанием, пользуясь мето­дами статистики, не подтвердят этого.

Рассмотрим эту ситуацию с несколько иной точки зрения. Предположим, что человек, умеющий по своему желанию увеличивать или уменьшать вероятность попа­дания в тот или иной эвереттовский мир, является ученым-экспериментатором (как в рассмотренном ранее примере). Если это возможно, то под сомнением оказы­вается объективность научных исследований. Какой же объективностью обладает научный результат, если полу­чивший его ученый может на него влиять и в конце концов может получить тот результат, который он хочет? Ответ на это сомнение уже содержится в пре­дыдущем рассуждении, но все же мы повторим его в несколько иной формулировке. Если данный эксперимен­татор обладает активным сознанием, то в некотором смысле он является чудотворцем и полученные им результаты могут противоречить предсказаниям кван­товой механики. Однако, как уже было отмечено, чудо (т.е. реализация заранее намеченного им результата) происходит лишь в его собственном сознании. Кроме того, даже он сам может объяснить это "чудо" случай­ным совпадением, поскольку полученный им результат допускается квантовой механикой, хоть и с малой вероятностью. Наконец, любой другой наблюдатель, не обладающий активным сознанием, т.е. выбирающий эвереттовский мир наугад, как правило будет оказы­ваться в таком мире, в котором результат опыта соответствует наиболее вероятной из предсказанных квантовой механикой альтернатив (и в котором, следо­вательно, экспериментатор-чудотворец терпит неудачу). Индивидуальный опыт любого человека с пассивным сознанием всегда будет подтверждать обычные квантовомеханические вероятностные предсказания, и любые "чудотворцы" будут таким опытом посрамлены.

Чтобы сделать последний вывод более наглядным, скажем так. Пока экспериментатор-чудотворец, обла­дающий активным сознанием, работает наедине в своей лаборатории, он с большой вероятностью получает тот результат, к которому стремится, и лишь с малой вероятностью — результат, наиболее вероятный с точки зрения квантовой механики. Пусть теперь результат опубликован и с ним знакомится большое число людей. Рассмотрим любого из этих людей, который не обладает активным сознанием, не является чудотворцем (или даже является им, но не заинтересован в некотором специаль­ном исходе данного эксперимента) и спросим себя, какой результат эксперимента он увидит в публикации. Ответ очевиден. Его сознание окажется в том или ином эвереттовском мире в соответствии с обычным квантовомеханическим вероятностным распределением. Следова­тельно, этот человек, скорее всего, увидит в публикации тот результат, который является наиболее вероятным согласно квантовой механики. Даже если эксперимента­тор-чудотворец стремился к результату, маловероят­ному по квантовомеханическим законам, аудитория журнала, состоящая из обычных людей, скорее всего, обнаружит в публикации наиболее вероятный результат.

Окончательный вывод можно сформулировать так. Даже если принять гипотезу о возможности активного сознания, тем не менее, объективность научных выводов гарантируется тем, что каждый научный результат широко публикуется и затем используется большим количеством ученых, не обладающих активным созна­нием и не имеющих возможности влиять на выбор квантовомеханической альтернативы. Это делает гипо­тезу об активной роли сознания приемлемой. Она не приводит к абсурдным выводам. Разумеется, это не является еще ее доказательством. Верна ли эта гипо­теза, остается неясным. Возможно, что ее принципи­ально нельзя доказать или опровергнуть. Тогда каждый может верить в эту гипотезу или не верить в нее. Ни в том, ни в другом случае не возникнет противоречия с тем, что наблюдается на практике.

Это напоминает довольно широко распространенное мнение, что существование Бога является только вопро­сом веры. В сознании глубоко верующего, в его индиви­дуальном опыте, существование Бога может иметь весьма веские доказательства. Но оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто научными методами.

 

4.5. Квантовый мир и классический мир

Если принять точку зрения, которая развивалась в предыдущем разделе, то взаимоотношение между кван­товым и классическим мирами выглядит совершенно иначе, чем обычно. Обычная интерпретация взаимоот­ношений этих миров иллюстрируется следующей схе­мой:

 

 

Классический мир — это то, что мы наблюдаем, поэтому он интерпретируется как реальность. Квантовый же мир (вектор состояния или волновая функция) существует лишь как некоторый математический образ, позволяю­щий предсказать классическую реальность, да и то лишь вероятностным образом. Во всяком случае, при таком подходе кажется неправильным интерпретировать кван­товый мир как объективно существующий.

Если же принять интерпретацию Эверетта, дополнив ее вдобавок гипотезой, что выбор одного из параллель­ных эвереттовских миров — это функция сознания, тогда возникает совершенно другая схема взаимоотношений квантового и классического миров:

 

 

В этой схеме квантовый мир объективен, потому что он не зависит от сознания. Он существует в форме парал­лельных миров, каждый из которых не менее реален, чем все остальные. Что же касается классического мира, то он возникает лишь после того, как сознание выбирает один из параллельных миров. При этом остальные миры вовсе не перестают существовать, поэтому то, что лишь один, выбранный мир, реален — это лишь иллюзия, возникаю­щая в сознании наблюдателя.

Такие взаимоотношения можно проиллюстрировать рисунком, на котором квантовый мир символически изображен как некоторая сложная объемная фигура, а то, что мы называем "классической реальностью", является лишь одной из проекций этой фигуры. Работа сознания состоит в том, чтобы выбрать одну из возмож­ных проекций, однако ни в каком случае эта проекция не отобразит всей сложности объективно существующего квантового мира.

Рисунок. Классическая реальность возникает в сознании как выбор одного из альтернативных результатов измерения и представляет собой взгляд на квантовый мир с одной из возможных точек зрения. В квантовом мире все альтернативы объективно существуют.

 

 

 

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Мы рассмотрели в этой статье проблему квантовых измерений, причем это рассмотрение распадается на две части, совершенно различные по характеру. Большая часть статьи (разделы 1-3) была посвящена обсужде­нию специфических черт запутанных состояний квантовомеханических систем и основанной на таких состоя­ниях картины декогеренции, возникающей при кван­товом измерении. Было показано, что запутанные состояния не только объясняют, что происходит при квантовом измерении, но делают возможным новые приложения квантовой механики, объединяемые под названием квантовой информации.

В последнем разделе 4 обсуждалась "маленькая тучка", которая еще остается в квантовой теории измере­ний, основанной на декогеренции. Эта "тучка", т.е. нерешенная концептуальная проблема, состоит в том, что, правильно описывая возникающие при квантовом измерении альтернативные результаты и распределение вероятностей по множеству этих альтернатив, теория декогеренции ничего не говорит о том, как именно происходит выбор одной из альтернатив.

Анализ показывает, что эта проблема по существу лежит вне физики, и по этой причине вполне оправдана точка зрения, что такой проблемы вообще нет. Во всяком случае, этой точки зрения придерживается большинство физиков, она является вполне последовательной и не ведет ни к каким неприятностям и противоречиям в чисто физических задачах. Оставаясь на этой точке зрения, можно вполне успешно решать все практические задачи. Следовательно, с достаточным основанием можно считать, что теория декогеренции и основанная на ней теория открытых измеряемых систем вполне закончена и не нуждается ни в каком развитии, кроме чисто технического (последнее как раз происходит весь­ма активно, см. обзоры [42, 43]).

Однако были все же физики, и среди них весьма уважаемые, в том числе Вигнер, которые не удовлетво­рялись этим уровнем решения "проблемы измерения". В разделе 4 обсуждались попытки выхода на более фундаментальный уровень и были кратко охарактеризованы некоторые из путей совершенствования теории, которые позволяют вывести ее за рамки теории декогеренции и сформулировать в терминах замкнутых, а не открытых систем.

По нашему мнению, наиболее интересной и последо­вательной среди этих расширенных теорий является многомировая интерпретация квантовой механики Эверетта-Уилера. Мы дополнили эту интерпретацию гипо­тезой о том, что выбор одного из эвереттовских миров — это и есть то, что называется работой сознания. Этот небольшой, но по нашему мнению принципиальный шаг приводит к очень красивой теоретической конструкции и может предоставить совершенно новую основу для теории сознания,

Если попытаться на основе всего сказанного загля­нуть в будущее, то можно предположить, что:

— практические приложения запутанных состояний будут и в дальнейшем расширяться,

— эксперименты по квантовой механике включат с течением времени работу мозга и сознание,

— квантовая теория измерений может привести к теории сознания как фундаментального физического свойства, которым тем не менее обладает лишь живая материя.

Последний пункт пока остается в значительной мере спекулятивным, однако он заслуживает особого внима­ния уже потому, что в случае успеха может привести к радикальному расширению предмета физики, по суще­ству к переходу физики на качественно новый уровень.

 

Благодарности. Пониманием непростых вопросов, кото­рые затронуты в данной статье, автор обязан многочи­сленным обсуждениям с коллегами, прежде всего проис­ходившим много лет назад беседам с Ю.А. Гольфандом и недавним дискуссиям с Дитером Цее (H.D. Zeh) и В.А. Намиотом. Работа была частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 98-01-00161.

 

СНОСКИ

¹ Явление декогеренции (по-английски decoherence) часто называется в русскоязычной литературе декогерентизацией.

² В общем случае запутанное состояние содержит более двух компонент, ïYñ = (1/Ön)S_iïy_iñj_i. Множество компонент супер­позиции может быть даже непрерывным.

³ Знак минус в этой формуле необходим, чтобы состояние двух частиц было синглетным, а не компонентой триплетного, т.е. соответствовало полному спину 0, а не 1.

⁴ Фактически в этих опытах использовались не частицы спина 1/2, а поляризованные фотоны, а вместо проекции спина измерялась поляризация фотона, однако расчет такого измерения по существу не отличается от того, как рассчитываются измерения проекции ошва.

⁵ Более того, корреляция частично "размывается", поскольку миро­вые линии квантовых частиц определены лишь приближенно.

⁶ Примерами могут служить состояния частицы спина 1/2 с опреде­ленной проекцией на выделенную ось, состояние фотона с одной из двух ортогональных поляризаций или состояния двухуровневой системы с определенной энергией.

⁷ Изменение состояния измеряемой системы при i-м результате измерения описывается действием проектора P_i. Квадрат модуля получающегося вектора дает вероятность i-го результата измерения.

⁸ В работах Б.Б. Кадомцева и М.Б. Кадомцева (см., например, [27, 11]) высказывалось предположение, что необъясненный до сих пор эффект Соколова (поляризация атома водорода, пролетающего вблизи металлической поверхности [28]) может возникать за счет установления квантовой корреляции между атомом и огромным числом электронов в поверхностном слое металла. Это было бы еще одним интересным проявлением запутанных состояний, однако, на наш взгляд, авторы недостаточно убедительно аргументируют, что эффекты от ЭПР-пар, образуемых атомом с разными электро­нами, когерентно складываются (это необходимо для получения эффекта нужной величины). Вопрос нуждается в дополнительном рассмотрении. Кроме того, представляется сомнительным вывод [11] о том, что эффект Соколова может быть использован для передачи сигнала со сверхсветовой скоростью.

⁹ Имеются в виду экспоненты или полиномы от длины n обрабаты­ваемых двоичных чисел.

¹⁰ Во избежание недоразумений заметим, что в термине "когерентное состояние" слово "когерентный" означает наличие определенной фазы классического волнового процесса. Во всех предыдущих слу­чаях это слово использовалось в другом смысле: наличие опреде­ленной относительной фазы между различными компонентами квантовой суперпозиции.

¹¹ Если принять эту гипотезу, то с чисто технической точки зрения работа сознания описывается ограниченным интегралом по путям или мнимым потенциалом, так как именно этими математическими инструментами можно описать непрерывное измерение при условии, что выбран один определенный результат этого измерения [42,43].

¹² Перевод снабжен предисловием В.А. Фока, а после статьи при­веден также перевод статьи H. Бора

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Wheeler J.A., Zurek W.H. (Eds) Quantum Theory and Measurement (Princeton, N,J.: Princeton University Press, 1983)

2.  Мандельштам Л.Д. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике (М.: Наука, 1972)

3. Bohm D. Quantum Theory (New York: Prentice-Hall, 1951) [Перевод: Бом Д. Квантовая теория (М.: Наука, 1965)]

4.  Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики 2-е изд. (М.: Наука, 1987)

5. Марков М.А. О трех интерпретациях квантовой механики (М.:Наука,1991)

6.  Bell J.S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy (Cambridge: Cambridge Universiy Press, 1987); Bell J S Physics (Long Island City, N.Y.) 1 195 (1964)

7.  Squires E.J. The Mystery of the Quantum World 2nd ed. (Bristol: IOP Publ., 1994)

8.   Penrose R. Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness (Oxford: Oxford University Press, 1994)

9.  Giulini D. et al. Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory (Berlin: Springer, 1996)

10.  Lockwood M. Br. J. Philos. Sci. 47 159 (1996)

11. Кадомцев Б.Б. УФН 164 449 (1994); Кадомцев Б.Б. Динамика и информация 2 изд. (М.: Редакция журнала "Успехи физических наук", 1999)

12.  Zurek W.H. Prog. Theor. Phys. 89 281 (1993)

13.  Zurek W.H. Phys. Today 46 13 (1993)

14.  Leggett T. Phys. World 12 (12) 73 (1999)

15.  Whitaker A., in Decoherence: Theoretical, Experimental, and Con­ceptual Problems (Lecture Notes in Physics, 0075-8450, 538, Eds P. Blanchard et al.) (Berlin: Springer, 2000) p. 299

16.  Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Phys. Rev. 47 777 (1935) [Перевод на русский язык¹² УФН 16 (4) 440 (1936)]

17.  Bohr N., in Albert Einstein, Philosopher-Scientist (The Library of Living Philosophers, Vol. 7, Ed. P A Schliepp) (Evanston, Ill.: Library of Living Philosophers, 1949) p. 200 [Перевод: Бор H., в сб. Атомная физика и человеческое познание (М.: ИЛ, 1961) с. 51]

18. Aspect A. Nature (London) 390 189 (1999)

19.  Tittel W. et al. Europhys. Lett. 40 595 (1997)

20.  von Borzeszkowski H., Mensky M.В. Phys. Lett. A 269 204 (2000)

21.  Pan J.-W. et al. Nature (London) 403 515 (2000)

22.  Feynman R.P. Found. Phys. 16 507 (1986) [УФН 149 671 (1986)]

23.  Deutsch D., Ekert A. Phys. World 11 (3) 41 (1998)

24.  Bennett С.H. Phys. Today 48 (10) 24 (1995)

25. Килин С.Я. УФН 169 507 (1999)

26. Bouwmeester D. et al. Nature (London) 390 575 (1997)

27. Kadomtsev В.В., Kadomtsev M.В. Phys. Scripta 50 243 (1994)

28. Соколов Ю.Л. УФН 169 559 (1999)

29. Braginsky V.В., Khalili F.Ya. Quantum Measurement (Cambridge: Cambridge University Press, 1992)

30.  Joos E., Zeh H.D. Z. Phys. В 59 223 (1985)

31. Zurek W.H. Phys. Today 44 (10) 36 (1991)

32.  Leggett A.J. J. Supercond. 12 683 (1999)

33. Garraway B.M., Knight P.L. Phys. Rev. A 50 2548 (1994)

34. Haroche S., Brune M., Raimond J.R. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A 355 2367 (1997)

35. Mensky M.B. Phys. Rev. D 20 384 (1979)

36. Менский М.Б. ЖЭГФ 77 1326(1979)

37.  Zurek W.H. Phys. Rev. D 24 1516 (1981)

38.  Zurek W.H. Phys. Rev. D 26 1862 (1982)

39.  Stodolsky L. Phys. Lett. В 116 464 (1982)

40.  Stodolsky L., in Quantum Coherence Proc. Intern. Conf. on Funda­mental Aspects of Quantum Theory, to Celebrate 30 Years of the Aharonov-Bohm Effect. USA, 1989 (Ed. J.S. Anandan) (Singapore: World Scientific, 1990) p. 320

41. Joos E. Phys. Rev. D 29 1626 (1984)

42. Менский М.Б. УФН 168 1017 (1998)

43.  Mensky M.B. Quantum Measurements and Decoherence: Models and Phenomenology (Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2000)

44.  Davidovich L. et al. Phys. Rev. A 53 1295 (1996)

45.  Ghirardi G.С., Rimini A., Weber T. Phys. Rev. D 34 470 (1986)

46.  Bohm D. Phys. Rev. 85 166 (1952); Reprinted in Quantum Theory and Measurement (Eds J.A. Wheeler, W.H. Zurek) (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1983)

47.  Griffiths R.B. J. Stat. Phys. 36 219 (1984)

48. Ornnes R. The Interpretation of Quantum Mechanics (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1994)

49. Gell-Mann M., Hartle J. Phys. Rev. D 47 3345 (1993)

50.  Paz J.P., Zurek W.H. Phys. Rev. D 48 2728 (1993)

51. Everett H. III Rev. Mod. Phys. 29 454 (1957); Reprinted in Quantum Theory and Measurement (Eds J.A. Wheeler, W.H. Zurek) (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1983)

52.  DeWitt B.S., Graham N. (Eds) The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1973)

53.  Laurikainen К.V. Beyond the Atom: The Philosophical Thought of Wolfgang Pauli (Berlin: Springer-Verlag, 1988)

54.  Wigner E.P., in Quantum Theory and Measurement (Eds J.A. Wheeler, W.H. Zurek) (Princeton: Princeton University Press, 1983) p. 168; Originally published in The Scientist Speculates (Ed. L.G. Good) (London: Heinemann, 1961) p. 284

55. Schrodinger E. What is Life? The Physical Aspect of the Living Cell (Cambridge: The University Press, 1944) [Перевод: Шрёдингер Э. Что такое жизнь? Физический аспект живой клетки (Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 1999)