Когда вы что-то делаете на транзисторах шестеренках, и т.д. материалах в реальности, то  любое несоотвествие реальности будет тут же налицо: штука не заработает как ожидалось. А вот если эмулировать с какой-то искусственной среде, тем более у себя в голове (мысленный эксперимент), то многое останется незамеченным, т.к. конфликта в реальности не произойдет.

Подробнее: https://scorcher.ru/adaptologiya/osobyennosti_ponimaniya_shyemotyehnichyeskih_sistyem.php 

kzpritkov, не стоит так торопиться выкладывать вопросы и вскоре их удалять потому как я уже ответил на него и вдруг это оказалось зря. Поэтому я восстановил сообщение.

Что именно имеется в виду под “преобразования символических выражений”?

>>основной элемент построения символических формальных систем – это рекурсия

Имеется в виду итерация? Или то, что объект является частью самого себя? Или алгоритм в программировании, когда функция выполняется в теле самой себя?

>>можно ли сказать, что все вычисления в мозгу также выполняются реально, а не по рекурсии?

Вычисления в мозгу не выполняются вообще. Могут выполняться последовательности мыслительных действий для достижения какого-то результата, не как вычисления, а как запуск уже имеющихся автоматизмов.

>>что с применением правила вывода по индукции?

При выделении общего из нескольких смыслов никакой рекурсии не совершается, а просто в переборе смыслов находится то, что ассоциировано в них с совпадающими составляющими этих смыслов. Т.е. мы мысленно рассматриваем последовательно несколько объектов внимания и должны быть готовы выделять из каждого из них ожидаемые совпадения (например, принадлежность к общему контексту). Если нет таких ожидаемых предположения, то они могут быть легко упущены или же их значимость (осознаваемый смысл) окажется настолько велик, что эти составляющие окажутся актуализированы (активны) и тогда легко находятся такие же в других объектах внимания.

>>Когда мне трудно объяснить ученикам материал, мне часто приходит в голову его интерпретация на основе ранее сформированных у меня навыков.

Такая интерпретация возможна при понимании сути явления в ее причинно-следственном аспекте.

Пятый пример хорошо это иллюстрирует:

“5. Закон обратных квадратов (площадь сферы увеличивается пропорционально квадрату ее радиуса), для объяснения закона тяготения и других полевых взаимодействий.”

Попутно замечу, что обратная квадратичная зависимости не является объяснением ослабления гравитации или закона кулона или чего-то, а является формализацией такой зависимости.

Интерпретацией или объяснением ослабления влияния гравитационного или электро-заряда будет трехмерное пространство, точнее три степени свободы, которые присущи взаимодействием как гравитационному, так и электрическому. Вот для ядерного взаимодействия присуще большее число степеней свободы (метрика пространства этого взаимодействия) и оно уже затухает не в квадратичной зависимости, а более резко. Взаимодействия между кварками реализуют большую часть степеней свободы квантово-механических компонентов (суперструны описываются 9-ю степенями свободы). Если это понимать, то станет возможным интерпретировать большой класс явлений.

И в данном случае такая интерпретация оказывается однозначной и единственно верной, что говорит об адекватности понимания и объективной реальности. Но в субъективной реальности можно сделать бесконечное число вариантов объяснительных предположений в силу произвольности абстракций этого мира.

Что касается других пунктов, то тут интерпретация усложняется тем, что мы имеем дело с более вторичными абстракциями, а не непосредственным описанием природных явлений. Они во многом условны, и их причинно-следственные связи следуют не логике, прямо отражающей внешний мир, а произвольной, субъективной логике определений данной системы. В таких случаях требуется предельно полно и целостно сформировать модель системы по определенным критериям. Тогда станет возможным использовать такие абстрактные модели столь же строго, как модели, адекватно отражающие реальность. А это – дико большая работа, в каждом случае – свое личное исследование и обобщение в модели понимания.

ответ

Вот это меня и интересует.
Могу ли я заключить, что хотя я знаю и могу доказать теорему, но моя неуверенность в том, что эксперимент будет с ней согласен, как в примере 3, говорит о моем непонимании сути явления?
Но в чем состоит это явление и его суть?
С одной стороны, из того, что это верно для  одной окружности, не следует, что это верно для всех или вообще.
С другой стороны, какое бы я ни привел доказательство, оно имеет дело не с конкретной окружностью, а с абстракцией, имеющей свойства окружности.

1. Нужно неподдельно заинтриговать ученика стремлением понять то, что ты пытаешься ему объяснить. Например объяснить ему на конкретном примере, где он это знание сможет применить и что ему это даст. Или устроить показательное шоу типа эффектного хим./физ. опыта с фейверками, левитацией магнита и т. п. - что то необычное, что само по себе вызовет жгучее любопытство и стремление понять как это работает.

2. При объяснении нужно использовать понятные ученикам символику и определения. У них нет сформировавшихся "очевидностей" учителя и его задача - понять, в каком месте они спотыкаются и какая неверная "очевидность" активируется. Объяснение по сути означает попытку понять логику ученика и скорректировать ее. Это как тестирование прибора: даешь на вход такой то сигнал - на выходе другой, но не тот что должен быть, и надо разобраться почему.

3. Надо постепенно приучать их самостоятельно находить ответы и переходить от пассивного проглатывания разжеванного учителем материала к самостоятельному жеванию. Чтобы привыкали к встрече с трудностями в освоении. Но самое главное - чтобы почувствовали на личном опыте, что после некоторого неприятного топтания вдруг вспыхивает понимания и радость от успеха. Положительное подкрепление вызовет мощный стимул и дальше "мучиться" с целью снова испытать "радость открытия" и придаст уверенности в успехе при следующем спотыкании.

То есть основа успешного обучения - неподдельный интерес + положительное подкрепление. А техника объяснения уже техническая сторона. Научить ученика учиться - значит сделать так, чтобы он получил личный опыт, когда после некоторых мучений возникает радость открытия.

Неуверенность говорит о недостаточности субъективной модели понимания, а эта модель формируется только в результате опыта решения проблем в этом контексте и получения уверенных результатов.

Каким бы ни было явление, отражением ли объективной реальности или умозрительно построенная, она представляет собой взаимосвязи, логику причин и следствий, каждая из которых уже в достаточной степени выверена и уверенно знакома. А в целом в данной системе эти компоненты могут пока быть не выявлены во взаимодействии, т.е. не сформирована более высокоуровневая логика, придающая уверенность. В каркасе модели еще есть дырки, есть проблемы понимания. Соответственно и возможности интерпретации и формализации оказываются этим ограничены.

ответ

специально проверил на уроке с двумя способными учениками 11 и 12 лет. уверенно пишут тождество (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (^ - означает в квадрате). прошу подставить не очень маленькие и не очень большие целые числа и проверить тождество. при этом прошу заметить ощущение. говорят, что до конца чувствовали неуверенность, что получится равенство и испытали радость от того, что получилось
т.е. получается что мозг не проводит сам параллели между явлениями исследованными в различных контекстах

>>мозг не проводит сам параллели между явлениями исследованными в различных контекстах

Проводит, но не самопроизвольно, а если поставлена такая проблема и есть навык обобщения в разных контекстах, для чего нужно специально загрузить в кэш памяти (у человека он может удерживать одновременно 5-7 смыслов для обобщения) несколько обобщаемых или сопоставляемых объектов внимания.

Но иногда обобщения происходят и интуитивно, во время неосознанной работы мыслительных автоматизмов с осознанием результата.