Динамические диаграммы Минковского: парадокс «парадокса близнецов»

Динамические диаграммы Минковского: парадокс «парадокса близнецов»
Minkowski’s dynamic diagrams: paradox of «twin paradox»

Putenikhin P.V.
m55@mail.ru

Результаты выборов зависят не от тех,
кто голосует, а от тех, кто считает.
Сталин

В каждой шутке есть доля правды. Сложно посчитать, сколько умов заработало в полную силу, столкнувшись с этим парадоксом и заинтересовавшись им. Рассматриваемые в данной работе диаграммы Минковского используются с 1908 года для наглядной демонстрации различных ситуаций в рамках специальной теории относительности. «Парадокс близнецов» имеет описания на языке диаграмм, но это диаграммы статические. Рассмотрим те же доводы на динамических диаграммах, в движении.

Как известно, исходная формулировка парадокса близнецов изложена в 1905 году в основополагающей работе Эйнштейна по специальной теории относительности «К электродинамике движущихся тел»:

«Если в точке A находятся двое синхронно идущих часов и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными, на

 сек.»

Вырожденным, простейшим вариантом такой кривой является прямая с разворотом. В этом варианте мы получим чистый случай релятивистского движения, к которому с полным правом мы можем применить всю математику специальной относительности. Однако, одна точка этой кривой выпадает из формализма теории – точка разворота. В этой точке движущиеся часы испытывают ускорение, и мы не можем считать такую систему отсчета инерциальной. У других, условно неподвижных часов, таких исключений нет. Традиционно в «парадоксе близнецов» рассматриваются не часы, а двое близнецов. Один из них остаётся неподвижным - на Земле, а второй улетает на космическом корабле, затем разворачивается и возвращается обратно. Согласно заявлению Эйнштейна вернувшийся близнец окажется моложе того, что оставался на Земле.

На диаграмме мы должны указать конкретные числовые параметры движения, поэтому примем, что скорость движения космического корабля составляет 0,866с – скорость, очень близкую к скорости света. Состояния движения участников в начале и конце движения рассматриваем как установившиеся, то есть в эти моменты космический корабль изначально имеет указанную скорость, не разгоняется и не тормозит. Длительность полёта корабля мы возьмём равную 10 годам или 120 месяцам. Следовательно, полное время полёта корабля составит 20 лет. Это и будет возраст близнеца, остававшегося на Земле к моменту встречи с братом, улетавшим в космос. Во всех числовых расчётах мы будем пользоваться системой единиц, в которой скорость света принимается равной единице. В этом случае уравнения Лоренца имеют более компактный вид:

Соответственно, все скорости движущихся систем отсчета будут ограничены этой скоростью, то есть не будут превышать единицы. Скорость рассматриваемого корабля, следовательно, можно обозначать просто как 0,866. Коэффициент замедления течения времени в этом случае равен:

Это «удобный» коэффициент, поскольку он в точности соответствует двукратному замедлению часов, поэтому, чтобы его получить мы и берём скорость движущейся системы, равной 0,866. Системам отсчета близнецов присвоим буквенные обозначения А и В. На динамическую диаграмму нанесём традиционные линии: оси координат и мировые линии света. Поскольку участники движутся с изменяющимися скоростями, их мировые линии, в конечном счете, будут изображены с изгибами. Поэтому оси координат этих систем отсчета мы также изобразим локальными – вблизи соответствующих систем отсчета. Кроме локальной оси x наблюдателя A: на диаграммах эта ось не показана, поскольку она в большинстве случаев в анализе не используется и лишь затеняет изображение. Участники начинают движение из общей точки, поэтому их ломаные мировые линии также будут иметь общее начало, и на диаграммах мы их изобразим цветными траекториями.

Для большей наглядности на диаграмму мы наносим ещё три вспомогательные линии: линию настоящего неподвижной (лабораторной) системы отсчета (она имеет оранжевый цвет), линию разворота, показывающую время, когда космический корабль изменяет свою скорость на противоположную, и изохрону времени разворота. Эта изохрона позволяет видеть время разворота при переходе из одной системы отсчета в другую. На табличках в левом верхнем углу диаграмм выведены параметры движения участников: показания их собственных часов, координаты в неподвижной системе отсчета и наступление событий разворота и встречи близнецов. Замечу, что анимированные диаграммы отображаются корректно не всеми браузерами: возможно смазывание картины. В этом случае для рассмотрения диаграмм лучше воспользоваться другим браузером.

Рис.1 Динамическая диаграмма, отвечающая традиционному описанию парадокса близнецов. Точка зрения неподвижного, земного близнеца.

Можно сказать, что диаграмма Минковского – это обычный двухкоординатный график движения. Вертикальную ось можно считать осью времени, хотя это не совсем привычно с точки зрения классической физики, на графиках которой ось времени обычно является горизонтальной осью. Правильнее сказать, что вертикальная ось – это ось релятивистcких интервалов – ct. Но мы приняли, что скорость света равна единице, поэтому шкала этой оси оказывается равной времени. Другая ось на диаграмме Минковского, горизонтальная – это ось расстояний. Мировые линии являются траекториями движения релятивистских объектов. Можно представить себе эти траектории железнодорожными путями, на которые мы смотрим с высоты самолёта. По этим путям движутся железнодорожные составы – релятивистские инерциальные системы отсчета – ИСО. Это вполне допустимо, поскольку обычно ИСО представляют как некую тележку, с которой связаны координатные оси и на которой установлены собственные часы.

Если продолжить аналогию с поездами, то неподвижный поезд - брат А перемещается только во времени, оставаясь на оси расстояний всегда в одной и той же точке. Второй поезд - брат В перемещался не только во времени, но и по оси расстояний. Суть релятивистских – лоренцевых -   преобразований состоит в том, что на таких движущихся «поездах» - тележках часы идут медленнее, а длина самого «поезда» видится неподвижному наблюдателю уменьшенной.

На нашей диаграмме рис.1 мы видим, что движение космического корабля состоит из трех этапов: удаления, разворота и возвращения до встречи с братом. На всём протяжении полёта часы на Земле у наблюдателя А идут с неизменным темпом, и время полёта составляет, таким образом, 240 месяцев. Показания этих часов нанесены на вертикальную ось времени. Напротив, часы на корабле идут замедленно. На двух этапах: удаления и сближения эти часы точно описываются математикой теории относительности. Поэтому суммарное время, которое покажут эти часы за всё время движения, составит (в месяцах):

Время, прошедшее по движущимся часам в момент разворота, мы посчитали равным нулю. Это, в общем-то, достаточно разумное предположение. Действительно, в соответствии с принципом эквивалентности торможение можно приравнять к действию силы гравитации. Под действием гравитации часы замедляют свой ход. Но нас как раз и интересует ситуация, когда движущиеся часы покажут меньшее время. Кроме того, время разворота мы берём малым настолько, что корабль не успевает пройти сколь-нибудь большое расстояние, такое, что нам следовало бы учесть вклад во время за счёт гравитационного и лоренцева замедления. Разумеется, это весьма сильные предположения, ведь корабль должен изменить скорость, близкую к скорости света, что вызовет громадные перегрузки:

Это ускорение при развороте на скорости 0,866с в течение 1 месяца почти в 20 раз превышает ускорение свободного падения. Можно, разумеется, увеличить длительность разворота до 7 месяцев и получить примерно такое же ускорение, какое испытывают космонавты при старте с Земли. Но мы всё-таки присоединимся к распространенному мнению о незначительности этого вклада в ход движущихся часов.

Вместе с тем, парадокс как таковой здесь не очень-то виден. Да, конечно же, это довольно странно, что возраст одного из близнецов вдруг стал меньше, чем возраст другого. С обыденной точки зрения это, действительно, парадокс. Но это парадокс в житейском, бытовом смысле. С научной точки зрения в нём нет ничего парадоксального. Действительно, мы получаем возраст улетавшего брата почти в два раза меньший, чем возраст брата неподвижного, но исключительно в результате строгих научных выкладок. Обычно на этом анализ парадокса близнецов традиционно и завершается. Делается лишь замечание мимоходом, что о результатах наблюдения летавшего брата мы ничего не можем сказать, ведь он находился в не-инерциальной системе отсчета и к нему математика СТО как бы неприменима. Но это, следует признать, недостаточно убедительный довод. Ведь улетавший брат «выпадал» из инерциальности лишь на короткое время. Действительно, по его собственным часам он почти 10 лет двигался равномерно и прямолинейно. И лишь месяц двигался с отрицательным ускорением, изменяя направление своего движения. Попробуем всё же рассмотреть ситуацию с точки зрения наблюдателя В.

Рис.2 Парадокс близнецов в точки зрения улетавшего брата

Мировая линия A оказывается почти зеркальной мировой линии B. На ней мы видим те же участки движения: удаления близнецов друг от друга, разворот и последующее сближение. На первом этапе обе системы являются инерциальными. Поэтому с точки зрения наблюдателя В мы изображаем соответствующий отрезок мировой линии наблюдателя А от начала координат до точки разворота. Мы помним, что эта точка имеет координату 120 месяцев – с точки зрения неподвижного наблюдателя A. Согласно уравнениям Лоренца, по часам наблюдателя B пройдёт меньший отрезок времени:

Соответственно, в системе A до точки разворота по мнению наблюдателя В пройдёт время:

Понятно, что на этих двух диаграммах событие «разворот В» лежит на одной и той же изохроне – 60, которая графически отражает изменение темпа хода движущихся часов. Нижняя точка изохроны, таким образом, соответствует времени разворота системы А, которая с точки зрения наблюдателя В является движущейся. С его же точки зрения развернувшимся кажется наблюдатель А: если до точки разворота системы удалялись друг от друга, то после разворота они начали сближаться. Это отражает изменение направления мировой линии А на данной диаграмме. Как и ранее, мы будем считать, что время разворота очень короткое и не вносит в показания часов A заметных отклонений. Сразу же после разворота наблюдатель А продолжает движение до встречи с братом. На этом этапе его часы также идут с лоренцевым замедлением, и к моменту встречи будут показывать время:

Собственно говоря, этот результат и следует считать действительно «парадоксом близнецов». С точки зрения наблюдателя А мы получили, что моложе оказался улетавший брат, а с точки зрения улетавшего брата моложе оказался его земной близнец. Другими словами, с точки зрения наблюдателя А его часы показали на момент встречи 240 месяцев, а с точки зрения улетавшего брата – только 120. Понятно, что этого не может быть, не могут одни и те же часы в одной и той же точке пространства-времени показывать два разных времени. Действительно, два разных наблюдателя в этой одной и той же точке пространства смотрят на эти одни и те же часы. Следовательно, где-то в расчетах допущена логическая ошибка. Сделаю оговорку, что здесь мы не ведем речи об ошибочности теории.

В чём же тогда заключается ошибка рассуждений? При этом одного только утверждения, что к улетавшему брату специальная относительность неприменима, на наш взгляд недостаточно. Вновь легко заметить, что из трех этапов движения наблюдателя В два являются строго релятивистскими и по продолжительности несопоставимо превосходят нерелятивистский участок разворота. Следовательно, мы можем вполне обоснованно произвести расчеты хотя бы для этих заведомо релятивистских участков движения. Динамическая диаграмма позволяет легко это сделать.

Итак, как и в двух предыдущих случаях картина с точки зрения наблюдателя В может быть разложена на такие же три этапа:

Рис.3  Ситуация в парадоксе близнецов с точки зрения движущегося брата. При развороте происходит скачок времени по часам неподвижного наблюдателя.

На первом этапе обе системы являются инерциальными, поэтому, согласно уравнениям Лоренца, на этом этапе по часам движущегося наблюдателя А пройдёт укороченный отрезок времени по сравнению с неподвижными часами В:

Пока оставим в силе принятое ранее допущение, что время разворота очень короткое и не влияет на изменение темпа хода часов. Но мировую линию А будем «проектировать» из других соображений. Мы знаем, мы так решили при рассмотрении ситуации с точки зрения земного наблюдателя: в момент встречи близнецов показания часов А будут равны 240 месяцам. Показания часов улетавшего участника будут равны 120 месяцам. Не может быть никаких разумных доводов против того, что в момент встречи А и В, изображенной на диаграмме рис.3, показания часов будут такими же - 120. Это значит, что мировые линии А и В пересекутся в точке 120 месяцев и показания часов системы А будут равны 240 месяцам. Но при этом мы обязаны изобразить мировую линию участника А с наклоном, соответствующим его скорости, равной 0,866. Таким образом, нам известна точка, в которую приходит эта мировая линия, тангенс угла её наклона и показания часов в этой точке. Обратным, ретроспективным расчетом мы можем легко найти показания часов в любой точке этого отрезка мировой линии. Замедление темпа хода часов А, как и ранее, равно 0,500. Время по часам неподвижной системы отсчета, в течение которого «действовало» это замедление нам также видно на диаграмме: 120 – 60 = 60 месяцев. Следовательно, за эти 60 месяца по часам подвижной системы отсчета А прошло (месяцев):

Мы знаем, что в конечной точке пути часы наблюдателя А покажут время 240 месяцев, следовательно, в его начале они должны показывать 240 – 30 = 210 месяцев. Только в этом случае при встрече близнецов медленно идущие движущиеся часы покажут 240 месяцев. Но, с другой стороны, на момент разворота выше мы получили другие показания часов движущегося наблюдателя – 30 месяцев. Мы получили двое разных показаний одних и тех же часов в одной и той же точке пространства-времени? Не совсем. Это, вообще-то, две разные точки: одна до разворота, другая – после разворота. Здесь мы получили иной результат: вследствие разворота наблюдателя В показания часов А скачкообразно сместились на 210 – 30 = 180 месяцев! Но это не реальное, физическое изменение показаний часов наблюдателя А. Это кажущееся, эфемерное изменение их показаний с точки зрения наблюдателя В. Тем не менее это допущение позволило устранить обнаруженный выше абсурд с показаниями часов. Такое решение «от противного» в литературе встречается чаще всего. Просто постулируется, что время неподвижного наблюдателя является эталоном и с релятивистскими «инструментами» в систему отсчета улетавшего брата лучше не соваться, поскольку иначе возникают другие проблемы. Лучше заявить «нельзя применять», чем в противном случае пытаться объяснить природу этого мистического скачка времени.

Объективности ради следует всё-таки отметить некоторую слабость приведенного анализа ситуации вблизи разворота улетавшего близнеца. Дело не в том, что ускорения велики, и не в запретительности тезиса «нельзя применять». Дело в том, что разворот как бы подразумевает, предусматривает, устанавливает скачок времени по часам наблюдателя А с точки зрения наблюдателя В, делает его неизбежностью. Никаких серьёзных аналитических или логических доводов в пользу такого варианта скачка в литературе не видно. Скорее, это интуитивное предположение, которое, впрочем, привело к удовлетворительному результату и худо-бедно защищает специальную относительность.

А что если сделать наоборот? Давайте-ка исследуем противоположный подход, который точно так же не имеет доказанных оснований. Предположим, что в момент разворота наблюдателя В произошёл реальный скачок показаний его собственных часов. Это, надо признать, вполне разумное предположение. Ведь ускорения при развороте однозначно оказывают воздействие на эти часы. Правда, ожидается, что часы будут идти ещё медленнее, чем при лоренцевом замедлении, но всё же… Любые доводы имеют право быть рассмотренными, даже ошибочные, которые тем самым послужат усилению, оправданию доводов противоположных.

В предыдущем примере мы «подтянули» явно отстающие часы до «правильных» результирующих показаний. Сделаем теперь это же, но уже с другими часами – у наблюдателя В. Другими словами, здесь мы напрямую вносим поправку: при развороте часы В испытывают действие ускорения, вследствие чего их показания «смещаются» вверх настолько, что при встрече с братом показания часов обоих участников будут равны. Наша цель – увидеть, не возникают ли при этом абсурдные результаты.

Рис.4 Анти-парадокс близнецов: скачок времени на движущихся часах

Вновь мы считаем движение до разворота полностью корректно описываемым специальной относительностью. Поэтому фиксируем показания часов B на значении:

Сразу же после разворота и предполагаемого скачка показаний собственных часов участник В движется к точке встречи и его часы идут с замедлением. К моменту встречи, как мы предполагаем, суммарное воздействие замедления и скачка привели к тому, что эти часы покажут время 240 месяцев. Скачок нам неизвестен, но мы можем его легко вычислить, ведь нам известно, какое время пройдёт по часам В до встречи:

Следовательно, сразу после разворота часы B должны были показывать время 240  ‑  60  =  180 месяцев. То есть, до разворота было 60 месяца, а после разворота – 180 месяцев. Скачок времени по часам В составил 180 – 60 = 120 месяцев. Вспомним, что в первом варианте скачок времени по часам А с точки зрения наблюдателя В составил 180 месяцев. Но пока это не должно служить источником беспокойства, поскольку эти скачки времени не имеют ясной природы. Посмотрим, какая картина в системе А будет наблюдаться с точки зрения системы покоя наблюдателя В.

Рис.5 Анти-парадокс близнецов: скачок времени на движущихся часах с точки зрения В

И сразу же мы видим довольно любопытное явление. Надо отметить, что алгоритм расчетов для диаграммы составил автор статьи. Но я решительно утверждаю, что полученный эффект оказался неожиданным, не запланированным.

На начальном, первом этапе движения до точки разворота 60 месяцев по часам системы покоя наблюдателя B картина вполне логична. Часы движущегося наблюдателя вплоть до этой точки 60 месяцев идут с замедлением и в самой точке покажут время 30 месяцев. Как и в предыдущих случаях ожидалось, что в точке разворота мировая линия A пойдёт по рассчитанной траектории, изображенной тонкой штриховой линией. Возможно, будет скачок времени… Однако, произошло что-то странное. Вместо скачка времени по часам систем произошел скачок времени точки разворота. Чтобы разобраться в причинах этого, рассмотрим ситуацию, несколько забегая вперед, может быть, там что-то откроется?

Итак, мы задали, что в момент встречи близнецов часы A и B будут показывать одно и то же время – 240 месяцев. Скорость их систем отсчета нам известна, поэтому мы можем построить мировую линию A на завершающем этапе движения. Она приходит в точку 240 месяцев и имеет наклон, соответствующий скорости 0,866. Очевидно, что точка разворота – единственная, следовательно, два отрезка мировой линии A – исходящий из начала координат и входящий в точку встречи – могут пересечься только в одной точке. Следовательно, причиной «перепрыгивания» точки разворота является заданное нами время встречи близнецов – 240 месяцев по часам В, поскольку для обеспечения этого условия мы принудительно «подняли» вверх завершающий участок мировой линии A. При этом возникают ещё две особенности. В новой точке разворота по часам В происходит всё тот же скачок времени на часах A с точки зрения наблюдателя B:  с 60 месяцев на 180 месяцев. К таким скачкам можно уже и привыкнуть, они не являются исключительной особенностью именно этого, нового метода расчета. Вторая особенность – это изменение времени разворота системы B по её часам. По условиям парадокса именно близнец B изменил направление своего движения, поэтому, казалось бы, его часы в любом случае должны показывать только одно из времён разворота, ведь он разворачивался, действительно, только один раз. Однако, этот довод не так уж и весом. Действительно, время фактического разворота по его собственным часам известно только ему, только он может посмотреть при развороте на свои часы. И это время – только на диаграмме рис.5 и равно оно 120 месяцам. Это время соответствует заданным условиям – встреча в 240 месяцев по его часам. Мы задали это время, и ему соответствует полученное время разворота – 120 месяцев. Все остальные времена – это кажущееся время с точки зрения наблюдателя A, который может судить о нём только по выкладкам, предлагаемым специальной теорией относительности. Но и 120 месяцев вычислены строго по этим же самым уравнениям. И на всех этапах движения мы определённо фиксировали все кинематические эффекты теории относительности – замедление темпа хода часов и сокращение отрезков.

Два различных времени разворота на последней диаграмме являются, таким образом, следствием перерасчета предсказанной траектории системы A. До 60 месяцев по часам B компьютер считал, что движение происходит по традиционному алгоритму парадокса близнецов, из постулированного условия показаний часов B на момент встречи, равных 120 месяцам. Однако, в момент «ретроспективного» пересчета показаний часов A для этих условий, чтобы вычислить величину скачка времени по этим часам, оказалось, что эта точка смещена. Ретроспективный расчет – это расчет текущих показаний часов из условия их итоговых показаний, показаний, которые должны быть на момент встречи близнецов.

Таким образом, мы получили другой вариант решения парадокса близнецов (близнецы останутся ровесниками), который имеет все признаки традиционного варианта (улетавший будет моложе). В обоих случаях время по часам улетавшего близнеца на момент его встречи с братом установлено, можно сказать, интуитивно, без аналитических обоснований. Поэтому 120 месяцев или 240 месяцев – это почти дело вкуса. Все остальные характеристики решений: лоренцевы замедления времени, скачки показаний часов – не имеют принципиальных различий для обоих методов вычислений, они тождественны. Таким образом, все полученные результаты для новых условий не имеют явных признаков абсурдности.

В заключение надо отметить, что приведённые выкладки не являются доказательством ошибочности специальной теории относительности. Все они производились в строгом соответствии, насколько возможно, с её формализмом. Спор, собственно говоря, был не с теорией, а с теми её сторонниками, которые задали для парадокса близнецов условие «улетавший будет моложе». При этом выкладки не следует рассматривать как доказанное и бесспорное опровержение этого условия. Скорее, это ещё один взгляд на парадокс, несомненно, имеющий право на существование. Вопрос парадокса близнецов: будет ли улетавший близнец моложе, таким образом, вновь становится открытым.