Математическое и эвристическое мышление

В первую очередь нужно заметить, что, несмотря на множество характеристик "типов мышления" (логическое, образное, абстрактное и т.п.), реально мышление всегда имеет одну природу, один общий механизм (см. Что такое мысль). Различаются лишь наработанные методики творчества - стереотипы мышления или мыслительные автоматизмы. Дело в том, что если что-то возникает в сознании как мышление, то это - всегда говорит о некоей новизне ситуации, требующей творческого осмысления (см. Сознание). Продуктом осознания является неосознанное следования поведенческим автоматизмам, в том числе - мыслительным автоматизмам, в том числе - автоматизмам математической логики.

Математика основана на развитии определенного стереотипа мышления, важной чертой которого является следование строго определенному значению символов и определенной логики их взаимодействия. И значение символов, и определение логики находится в компетенции математика в рамках текущей предметной области математики.

Эти определения обычно бывают уже взаимно согласованы математиками в данной области, но позволяется вносить любые оправданные предполагаемой пользой переопределения старых и определения новых понятий, расширяя область использования предметной области.

Таким образом, в математике есть два стиля мышления, различающиеся (не)использованием сознания.

1. Строгое следование уже определенному, что дает жесткость получаемых результатов и строгость математических выводов, которые и создают иллюзию непогрешимости математического метода. Это - неосознаваемые, привычные, хорошо освоенные автоматизмы. Поэтому никто никогда не способен проследить "логику мышления", его причинную последовательность, и только уже после состоявшегося мыслительного процесса может ее "резонно" предположить. Однако, существование отслеживающего режима сознания позволяет зафиксировать как память о событиях то, что переживается в ходе такого мышления, и эта память вовсе не всегда касается математического предмета, а может перескакивать на что угодно, в данный момент превышающее актуальность темы математического построения.

2. Осознанное творческое мышление (задействованы навыки творчества, фантазии, прогнозирования желаемого), которое сугубо отличается от того, что обычно регламентируется характерным для математики - для переопределений старых понятий и определения новых (в том числе понятий о логике взаимодействий).

Ж.Дьедонне писал: "Логика — это необходимый и скучный инструмент (известно, что математики ее, вообще говоря, не слишком ценят); ею надо уметь должным образом владеть, так как она позволяет следить за доказательством и проверять его... но не изобретать!"

Первый стереотип автоматического мышления требует наработки навыков строгого следования принятым соглашениям в формализации, преобразованиях и выводах - в контексте текущей математической темы.

Второй стереотип осознаваемого мышления - творческое нахождение новых вариантов, то, что требует всей совокупности личного опыта и называется эвристическим мышлением.

Оба стереотипа являются наработанными автоматизмами, но способными корректироваться осознанно, в том числе в область новых, пока еще не освоенных условий, что является проявлением личной адаптивности.

Этим разделением стереотипов мышления дается граница их адекватной применимости, т.е. та область применения, в которой предполагаемое соответствует получаемому реально.

Это означает, что математика не может претендовать на всеобщую универсальность своего приложения, если ограничиваться только первым видом стереотипа, а второй вид - не свойственен сугубо только математике. Как обычно бывает в таких случаях, границу между математикой и нематематикой провести не удается в виду недоопределенности того, что именно относится к математике и в виду того, что большая часть математики относится к стереотипу творчества, присущему не только математике.

Как присущий только математической логике, первый стереотип дает возможность решать определенные задачи в рамках уже придуманных определений (математического аппарата), в то же время большое количество задач, требующих решения, не имеет подходящего математического аппарата, но при этом могут решаться творческими, эвристическими методами.

Так, присущий осознанному мышлению метод моделирования ситуации, когда обобщается все то, что по наблюдениям оказывает причинное воздействие в данном явлении, строится субъективная модель явления, претендующая на предсказательную способность настолько, насколько верно (без иллюзий) выявлена реальная логика процессов, и насколько верно она воспроизведена в модели.

Чтобы придать достаточную определенность слову "математика" в контексте данной статьи, условимся считать математическим присущее только математике, т.е. первый вид стереотипа мышления.

Пример решения без использования математического аппарата: еще не существует математический аппарат для решения "задачи трех тел", но, заложив в компьютер параметры тел и законы взаимодействия, легко получается результат.

Без компьютера, моделируя мысленно, так же удается получать верные предсказания для многих случаев потому, что в голове строится субъективная модель явления, которая способна корректироваться личным опытом наблюдения, сколь угодно глубоко уточняя результат. Вообще любое творческое мышление - и есть развитие таких моделей.

Это означает, что приложение математической логики имеет достаточно четкие границы применимости, и альтернативой является модельное мышление или эвристика. Причем, эвристическое мышление в любом случае оказывается более общим потому, что напрямую использует механизмы субъективного творчества, формируя неосознаваемые навыки. Матлогика же - один из специализированных видов модельного мышления уже с использованием полученных неосознаваемых навыков. Причем, она более отвлечена от реальности в силу того, что используется вторичная (уже неосознаваемая), субъективно определяемая логика.

Это допускает, как метод творчества, определение произвольной логики или произвольных начальных условий - постулирование, отличное от аксиоматики (см. Аксиомы и постулаты). Постулат вовсе не обязательно имеет непосредственное соответствие с объективной реальностью (в отличие от субъективной), хотя в некоторых случаях такое соответствие находится постфактум.

Отсюда напрямую вытекает важный вывод: любая математическая модель предваряется сознательным волевым усилием адаптивности к кругу явлений, перенесенного в субъективность. Любая математическая формализация не может оказаться адекватной описываемому явлению (очень малый шанс случайности) без предварительного понимания картины, задачи, представлений субъективно до уровня, позволяющего сформировать математическую модель, до уровня возможной формализации. Это - прямое противоречие уверенности, проистекающей от Аристотеля в том, что мир возможно познать чистой логикой.

В статье Брайн Дэвис: «Куда идет математика?»: "На протяжении тысячелетий считалось, что математика открывает неопровержимые вечные истины....математика столкнулась с проблемой практически непреодолимой сложности доказательств....Подобно инженерам, математики станут говорить не о твердом знании, а о степени уверенности в надежности своих результатов.".

Далее будет показана реальная последовательность уровней мышления: сначала понимание сути, потом - формализация. Иначе получается случайная смесь неких компонентов (одного из бесконечного числа возможных вариантов), как картинка в калейдоскопе, а не познание чего-то в реальности или построение гипотезы, претендующей на описание реальности.

А.Пуанкаре писал: "В чем состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы бесконечно, и даже самое большое их число не представляло бы ровно никакого интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство."

Вполне представимо развитие системы чисто модельных, эвристических представлений, без использования взаимно-договоренных определений символов и правил, обеспечивающих передачу таких представлений другому человеку, т.е. без формализации, тем более формализации математической. Стоит иметь в виду, что подавляющая часть психики, субъективных образов - вне вербальных символов и не способна быть передана сразу другому человеку без искажений понимания, что порождает множество иллюзий понимания. Это означает, что понять суть, сделать адекватное реальности обобщение не только возможно, не прибегая к математике, а невозможна адекватная математическая формализация без предварительного субъективного понимания сути.
При этом игра в математические построения, в результате которой мысль эвристически наталкивается на понимание сути - не редкое явление. Но это - метод "научного тыка" или "алхимия", а проще - "вращение калейдоскопа" потенциально бесконечных вариантов, пока не возникнет интуитивное озарение.

В конечном счете, любая дееспособная гипотеза, претендующая на предсказательную силу, опирается на систему аксиом, а не постулаты, что отличает ее от фантазии. При этом фантазия часто дает возможность расширить систему аксиом в новом, неожиданном направлении, что, к примеру, было в ярком случае развития геометрии Лобачевского: всего одна фантазия, заменившая обыденный порядок определений, дала развитие новому пониманию, нашедшему соответствие в реальности. Но расширение обретает реальную силу именно после нахождения своего соответствия с реальностью, а до этого остается лишь продуктом субъективной фантазии - сколь угодно привлекательной, но абстракцией.

Можно уверенно утверждать, что принципиально не может существовать метод чисто алгоритмического, математического обеспечения создания нового математического аппарата - в силу фундаментального принципа информационной адаптивности, в котором корректировка осуществляется по результату соответствия ожидаемого и получаемого в реальности, а не в ограниченном информационном пространстве субъекта.

В практическом плане сопоставлений рассмотрим тенденцию математизировать явления для исследований, которую я считаю методологически неверной. Это - подход, когда исследователю кажется, что именно формализация математического характера позволит ему в должной степени постигнуть суть причинно-следственных механизмов явления. В частности, исследователи функциональности мозга часто принимают те или иные математичсекие предположения для описания работы нейросети. Более простой пример поможет понять (не)резонность такого подхода. Возьмем явление наполнения сосуда жидкостью. Оно может быть описано математически очень точно в зависимости от специфики условий наполнения. Мы получим верные формулы расчета скорости наполнения, давления водяного столба жидкости и соответствующую этому потенциальную энергию. Получим математическую модель, которая объявляется присущей явлению наполнения водой.
Другой исследователь точно так же получает мат.модель явления зарядки конденсатора источником постоянного тока.
Оказывается, что обе модели, что наполнение сосуда постоянным током воды и наполнение емкости конденсатора зарядами постоянного тока совершенно идентичны, хотя относятся к совершенно разным явлениям. Отсюда ясно, что модели сами по себе не тождественны описываемым явлениям, а лишь условно соответствуют некоторым заданным границам описания. И эти модели были получены уже при понимании сути явлений, а не наоборот. Они во многих случаях просто усложняют понимание, если попытаться дать представление о явлении, начиная с этих моделей. Конечно, есть случаи, когда модели помогают развивать представления и практически используются в расчетах. Но это происходит уже после того, как кто-то первый сначала поймет саму суть, а потом поймет, почему и как эта суть может быть формализована, не обязательно математически.
Бывает, что именно первоначальное математическое представление дает возможность что-то предположить в реальности, но никогда это не дает уверенности в том, что такое предположение оказывается верным. Совсем утрируя, абстракция 2х2=4 позволяет описывать невообразимое количество явлений, но ни в коем случае не является соответствием этим явлениям.

Дополнительно:

·       Можно ли стопроцентно доверять математике?

·       Анри Пуанкаре Математическое творчество

·       Абстракция и математическая интуиция Жан Дьедонне

·       Брайн Дэвис: «Куда идет математика?»

·       Математики о математике

·       Математику лишили звания Универсального языка Вселенной

·       Про математику

·       Пределы доказуемости